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Ola a todos. Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura, e mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares simetricos... Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um agradecimento na dissertacao! :) :) (Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda nao sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele aqui.) "Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n>4) contendo a origem O em seu interior. Sabe-se que: -- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} // QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo n); -- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para i=1,2,...n, indices modulo n). Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes?" Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a "origem" para Q eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros pontos sao calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem consegue fazer o poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja congruente ao Q (mas mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro de P?) Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na origem sao contra-exemplo! Abraco, Ralph.
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