Olá, a cara desta expressão (soma nas raízes de um polinômio) me faz pensar em integral de Cauchy / resíduos. Um lado você consegue com a integral olhando para dentro de um círculo bem grande (contendo todas as raízes) e a outra "no lado de fora do círculo". Não estou com tempo de pensar qual seria a função, mas acho que é por aí. Talvez a noite traga inspiração?
Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2016-02-19 18:19 GMT-02:00 Luís <[email protected]>: > Sauda,c~oes, > > Parece que não chegou. Mando novamente. > > Luís > > ________________________________________ > De: Luís <[email protected]> > Enviado: sexta-feira, 19 de fevereiro de 2016 14:35 > Para: [email protected] > Assunto: Re: Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0 > > Sauda,c~oes, oi Amanda, > > Apesar de não conseguir uma solução, gostei deste problema. > > Para n=2 e n=3 podemos ver que isso é verdade. > > P[2](x)=(x - x_1) (x - x_2) > P[2]'(x) = (x - x_2) + (x - x_1) > P[2]'(x_1) = (x_1 - x_2) > P[2]'(x_2) = (x_2 - x_1) > > 1/P[2]'(x_1) + 1/P[2]'(x_2) = 1/(x_1 - x_2) + 1/ (x_2 - x_1) = 0 > > P[3](x) = (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3) > P[3]'(x) = (x - x_2) (x - x_3) + (x - x_1) (x - x_3) + (x - x_1) (x - x_2) > P[3]'(x_1) = (x_1 - x_2) (x_1 - x_3) > P[3]'(x_2) = (x_2 - x_1) (x_2 - x_3) > P[3]'(x_3) = (x_3 - x_1) (x_3 - x_2) > > Soma (k = 1,3) 1/P[3]'(x_k) = 0 > > Mostrar assim para n >= 4 começa a ficar longo. Pensei então em indução. > > P[n+1](x) = (x - x_(n+1)) Q[n](x) > > P[n+1]'(x) = Q[n](x) + (x - x_(n+1)) Q[n]'(x) > > Soma (k = 1,n) 1/Q[n]'(x) = 0 (hipótese da indução) > > Soma (k = 1,n+1) 1/P[n+1]'(x_k) = Soma (k = 1,n) 1 / [ (x_k - x_(n+1)) > Q[n]'(x_k) ] + 1 / Q[n](x_(n+1)) > > Parei aqui. Será que é possível manipular a expressão e chegar ao resultado ? > > Luís > > > ________________________________________ > De: [email protected] <[email protected]> em nome de Merryl > <[email protected]> > Enviado: terça-feira, 16 de fevereiro de 2016 23:18 > Para: [email protected] > Assunto: [obm-l] Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0 > > Tentando mostrar isto, cheguei a uma expressão extremamente complicada. Podem > ajudar? > > Seja P um polinômio de grau n >= 2 tal que suas n raízes x_1, ... x_n sejam > distintas duas a duas. Mostre que > > Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0 > > Obrigada > > Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
