Oi, Roger,
Acho que dá pra usar decomposição em frações parciais usando as raízes
complexas.
As raízes do polinômio (1+s^2)^2 são: i e -i, ambas com cardinalidade 2.
Logo, podemos escrever:
1/(1+s^2)^2 = A/(s-i) + B/(s-i)^2 + C/(s+i) + D/(s+i)^2
Multiplicando ambos os lados por (s-i)^2(s+i)^2, temos: 1 = A(s-i)(s+i)^2 +
B(s+i)^2 + C(s+i)(s-i)^2 + D(s-i)^2
Fazendo s=i, temos: 1 = B(2i)^2 => B = -1/4
Fazendo s=-i, temos: 1 = D(-2i)^2 => D = -1/4
Derivando em relação a s, temos:
0 = A(s+i)^2 + A(s-i)2(s+i) + 2B(s+i) + C(s-i)^2 + 2C(s+i)(s-i) + 2D(s-i)
Fazendo s=i, temos: 0 = A(2i)^2 + 2B(2i) => 0 = -4A + 4Bi => 0 = -4A - i =>
A = -i/4
Fazendo s=-i, temos: 0 = C(-2i)^2 + 2D(-2i) => 0 = -4C - 4Di => C = -Di =>
C = i/4
Portanto: 1/(1+s^2)^2 = (-1/4) * [ i/(s-i) + 1/(s-i)^2 - i/(s+i) +
1/(s+i)^2 ]
L[exp(it) u(t)] = 1/(s-i)
L[exp(-it) u(t)] = 1/(s+i)
L[exp(it) t u(t)] = 1/(s-i)^2
L[exp(-it) t u(t)] = 1/(s+i)^2
Portanto:
L^{-1} [1/(1+s^2)^2] = (-u(t)/4) * [ i exp(it) + exp(it)*t - i exp(-it) +
exp(-it)*t ]
Note que 2cos(t) = exp(it) + exp(-it) e que 2isen(t) = exp(it) - exp(-it).
Portanto:
L^{-1} [1/(1+s^2)^2] = (-u(t)/4) * [ i 2isen(t) + 2tcos(t) ] = u(t)/2 * [
sen(t) - tcos(t) ]
Assim, a inversa que você busca é: u(t)/2 * [ sen(t) - tcos(t) ]
Abraços,
Salhab
2016-03-03 16:24 GMT-03:00 Roger <[email protected]>:
> Pessoal, boa tarde.
>
> Pode ser uma dúvida básica, mas se alguém puder indicar a resposta.
>
> Qual a transformada inversa de laplace de:
>
> 1/(1+s^2)^2
>
> [ ]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
