Obrigado Pedro José

Em 16 de novembro de 2016 10:29, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia!
>
> O fato de haver um múltiplo para cada fator do fatorial não garante a
> divisibilidade, posto que os múltiplos não são necessariamente diferentes e
> nem todos os pares de fatores tem mdc igual a 1.
>
> Se zero fizer parte da sequência, está provado. pois n! | 0 para todo n.
>
> Veremos agora as sequências em que o zero não faz parte.
> O produto de uma sequência de inteiros positivos,  consecutiva de a-n+1, a
> -n+2 ... a-1, a dividido por n! é o número combinatório de a n a n. C(a,n);
> portanto inteiro. Caso seja uma sequência de fatores negativos, o produto
> será (-1)^n. P, onde P é o produto dos módulos dos fatores da sequência, e
> por conseguinte também é múltiplo de n!.
>
> De outra forma, se fatorarmos n!
>
> Temos que para cada p, primo, p<= n,  que o expoente, a, de p na fatoração
> é:
>
> a = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... e embora a série seja infinita a parir
> de uma dada parcela todos os termos são zero e {z] é a função parte inteira
> de z.
>
> Seja Y= (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x => Y = x!/(x-n)!, com x-n+1>= 1
>
> Seja b o expoente da fatoração de Y, c o expoente da fatoração de x! e d o
> expoente da fatoração de (x-n)!.
>
> Então, b= c-d.
>
> c= [x/p] + [x/p^2] + [x/p^3] + ...
>
> d= [(x-n)/p] + [(x-n)/p^2] + [(x-n)/p^3] + ...
>
> x = r mod p^w, w um inteiro positivo e p, primo e p <= n e 0<= r <p^w
> n = s mod p^w e 0<= s <p^w
>
> temos que x= q1*p^w + r e n= q2*p^w+s
>
>
> Então [x/p^w] = q1, [n/p^w]=q2
>
> [(x-n)/p^w] = [(q1-q2)*p^w+r-s] =   q1-q2 se r>=s e q1-q2-1 se r<s.
>
> Então [x/p^w] - [(x-n)/p^w] = q2 se r>=s e q2 +1 se r<s.==> [x/p^w] -
> [(x-n)/p^w >= [n/p^w]=q2
>
> Se cada parcela de a é menor ou igual que cada subtração das parcelas
> correspondentes de c-d, temos que para todo p <= n o expoente de p na
> fatoração de n! é menor ou igual que o expoente correspondente a p na
> fatoração de Y.
>
> Se for uma sequência de termos negativos, vale a mesma observação
> destacada acima.
>
> Então n! | (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x, para qualquer x.
>
> Saudações,~
> PJMS
>
>
> Em 4 de novembro de 2016 06:03, Guilherme Oliveira <
> guilhermeoliveira5...@gmail.com> escreveu:
>
>> Verdade, tem isso.
>>
>> Talvez seja melhor mudar de estratégia.
>> Imagine um número primo p < n. Como a sequência de n! começa em 1, só
>> teremos o primeiro múltiplo de p na p-ésima posição. Somente por causa
>> disso a divisão dá certo. Se kp é o maior multiplo de p menor que n,
>> teremos pelo menos k fatores p na sequência. O mesmo raciocínio pode ser
>> feito para p^2, p^3, .... , o que completa o número de fatores p na
>> sequência necessários para que ela seja divisível por n!.
>>
>> Isso também explica porque uma sequencia p não é necessariamente
>> divisível por outra sequência q.
>>
>> Em 04/11/2016 05:16, "Tássio Naia" <t...@polignu.org> escreveu:
>>
>>> > n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros,
>>> temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que
>>> k<n. Isso é válido para to k que seja um fator de n!tes dele. Seja k como
>>> um desses desses fatores (k<n). Ele terá um múltiplo a cada k inteiros
>>> consecutivos, começando por 0.
>>> > Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há
>>> pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que k<n. Isso é válido para to k
>>> que seja um fator de n!
>>>
>>> Mas e se k, k', com 1< k < k' <= n têm o *mesmo* múltiplo no intervalo
>>> p, p+1, ... , p +  n -1 ? (Por exemplo, k=2, k' = 4)
>>>
>>> 2016-11-03 22:52 GMT+00:00 Guilherme Oliveira <
>>> guilhermeoliveira5...@gmail.com>:
>>>
>>>> Boa noite, Israel.
>>>>
>>>> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses
>>>> fatores (k<n). Ele terá um múltiplo a cada k inteiros consecutivos,
>>>> começando por 0.
>>>>
>>>> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
>>>> menos um múltiplo de k entre eles, já que k<n. Isso é válido para to k que
>>>> seja um fator de n!
>>>>
>>>> Portanto, Essa sequência é divisível por n!
>>>>
>>>> Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo <
>>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>>
>>>>> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
>>>>> inteiros consecutivos
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
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>>>> --
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>>>> *______________________________________________________________________________________*
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>>>> *“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho
>>>> original.”*
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>>>> *Albert Eistein*
>>>>
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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