Oi amigos!

Estou com estes 2 problemas de demonstração, onde f e g são funções inteiras:

1) Se lim z --> oo f(z) = oo, então f é um polinômio 

2) Se g é injetora, então g é uma função afim

1) Neste caso, acho que uma prova pode ser esta:

Para z em C/{0}, seja h(z) = f(1/z). Então, h é meromorfa em C com um pólo em z 
= 0. Assim, podemos expandir h em uma série de Laurent em torno da origem. 
Sendo n >= 1 a ordem do pólo em 0, Para z não nulo, temos que

h(z) = c(_n) z^(-n) ... + c(-1) z^(-1) + c(0) + c(1)z + c(2)z^2 ......

Logo, para z <> 0, 

f(z) = h(1/z) = c(_n) z^n ... + c(1) z + c(0) + c(1)z^(-1) + c(2)z^(-2) ......

e f(0) = c(0)

Como f é inteira, a série de Laurent acima é na realidade uma série de 
potências, o que implica que os coeficientes dos termos com expoentes negativos 
sejam todos nulos. Logo, a série de potências de f ao redor da origem tem um 
número finito de coeficientes não nulos, implicando que f seja um polinômio.

Creio que está correto.

2) Aqui estou com dificuldades. A sugestão era aplicar o teorema do mapeamento 
aberto, mas só achei uma prova pelo Teorema de Picard (sei o que diz mas ainda 
não avancei atésua demonstração).

Se g não for polinomial, então, pelo Grande Teorema de Picard, existe um 
complexo w para o qual g(z) = w ocorre para uma infinidade de valores de z. 
Assim, contrariamente à hipótese, g não é injetora. Isto mostra que g é um 
polinômio de grau n > 0 (funções constantes em C não são injetoras). E como g é 
injetora, g é então da forma

g(z) = k (z - r)^n, sendo k <> 0 e r constantes complexas

Sendo s <> 0, a equação g(z) = s tem por solução os n complexos

z_j = r + R(j), j = 1, 2, ..n, onde cada R(j) é uma das n raízes n-ésimas de 
s/k.

Como g é injetora, esta equação tem uma e somente uma solução, de modo que n = 
1. Assim, g é um polinômio de grau 1, logo uma função afim.

Mas acho que esta prova não é muito boa não (aliás, também é possível provar 
(1) com base no Teorema de Picard. Eu uma vez vi esta prova aqui na lista).

Abraços

Ana

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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