Condição: K + A < N, sendo todos inteiros positivos. Podemos pensar assim:
Qual é a probabilidade de os números 1, 2, 3... K não serem escolhidos por ninguém? Sobram N - K números para cada pessoa escolher. Então cada uma tem (N-K)!/(A!*(N-K-A)!) maneiras de escolher estes números, de um total de N!/(A!(N-A)!. A probabilidade de uma pessoa escolher somente números maiores que K é, portanto, (N-K)!*A!*(N-A)!/A!*(N-K-A)!*N! = (N-K)!*(N-A)!/N!*(N-K-A)!. A chance de todas elas fazerem isso é este número elevado a P, ou seja, [(N-K)!*(N-A)!/N!*(N-K-A)!]^P Esta é a chance de os primeiros K números sobrarem. Como existem N!/(K!*(N-K)!) maneiras de escolher K números, devemos multiplicá-la por este número, e obtemos: [(N-K)!*(N-A)!/N!*(N-K-A)!]^P * N!/(K!*(N-K)!) Esta é, porém, a chance de PELO MENOS K números sobrarem. A chance de exatamente K números sobrarem será: [(N-K)!*(N-A)!/N!*(N-K-A)!]^P * N!/(K!*(N-K)!) - (somatória de T = K+1 a N-A [(N-T)!*(N-A)!/N!*(N-T-A)!]^P * N!/(T!*(N-T)!) Acho que é isso! Em 24 de julho de 2017 18:27, Pedro Angelo <[email protected]> escreveu: > Oi Salhab! > > Pensei numas coisas elementares aqui, não sei o quão fechada é a fórmula > que vc quer. > > A probabilidade de um dos K números não ser o primeiro dos A números > escolhidos pela primeira das P pessoas é (N-1)/N. Dado que esse número de > fato não foi o primeiro escolhido, a probabilidade de ele não ter sido o > segundo escolhido é (N-2)/N. Continuando, a probabilidade de ele não ter > sido nenhum dos A números escolhidos é (N-1)!/[N^A * (A-1)!]. A > probabilidade de esse número não ter sido escolhido por nenhuma das P > pessoas, já que cada escolhe os A números de forma independente, é > simplesmente isso aí elevado a P: > > { (N-1)! / [N^A * (A-1)!] } ^ P > > > Agora, dado que o primeiro dos K números não foi escolhido por nenhuma > pessoa, a probabilidade de o segundo dos K números também não ter sido > escolhido é dada pela mesma fórmula aí de cima, mas trocando N por N-1, já > que sabemos que esse negundo número é diferente do primeiro (ou seja, o > problema é o mesmo, mas eliminando um dos N números). Continuando, a > resposta fica: > > { (N-1)! (N-2)! ... (N-K)! / [ (N!/(N-K)!)^A (A-1)!^K ] } ^ P > > Posso ter cometido algum engano (ou vários hehe), mas não sei se dá pra > chegar a um resultado mais simples que esse. > > abraços > > > 2017-07-24 17:52 GMT-03:00 Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]>: > >> Pessoal, >> >> Estou tentando resolver o seguinte problema: >> >> Dado que P pessoas selecionam aleatoriamente A>=2 inteiros diferentes no >> intervalo [1, N], qual a probabilidade de K números do intervalo [1, N] não >> serem selecionados por ninguém? >> >> Alguém pode me ajudar? :) >> >> Abraços, >> Salhab >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
