Bora lá...

Pelo que a galera já demonstrou, o resultado vale se todos os números
da sequência forem racionais. Agora, falta cobrir os irracionais.

Considere

- real eps>0
- inteiro m>0
- inteiros p_1, p_2, ... p_(2n+1)

tais que, para todo i, vale |p_i-mx_i| < eps.

A ideia é que se eps for bem pequenininho, os p_i e os x_i terão a
mesma propriedade (se tirar um, dá para rachar ao meio).

De fato, fixando i:

soma(j <> i)(a_ij * m* x_j) = 0 , para alguma combinação de a_ij em
{-1,+1} (tente imaginar uma balança: se o número x_j está no prato
direito, usamos -1; caso contrário, +1).

Ou também

soma(j <> i)(a_ij * (m* x_j-p_j)) =  - soma(j <> i)(a_ij * p_j)

Passa o módulo:

| soma(j <> i)(a_ij * p_j) | = | soma(j <> i)(a_ij * (m* x_j-p_j)) | <= 2n * eps

Mas olha só, o | soma(j <> i)(a_ij * p_j) | é um inteiro positivo
arbitrariamente pequeno! Isso na minha terra tem um nome: ZERO!

LOGO, como os ilustres colegas da lista mostraram, todos esse p_i
devem ser iguais.

LOGO, para todo K grandão existem inteiros n_K e p_K tais que |p_K  -
n_K * x_i| <= 1/K

Como pelo menos um dos caras é irracional, é fácil ver que n_K pode
ser arbitrariamente grande. Mas 2/N > |n_K| * max |x_i-x_j|, e isso
implica max |x_i-x_j| = 0.

That's it!





Em 15 de julho de 2017 20:21, Anderson Torres
<torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> Uma ideia pode ser tentar aproximar os reais para racionais e usar o
> argumento das potências, não?
>
> Em 11 de julho de 2017 18:21, Matheus Secco <matheusse...@gmail.com> escreveu:
>> Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque você
>> já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os reais
>> admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os racionais.
>>
>> Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
>> escreveu:
>>>
>>> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um
>>> jeito de usar isso para o caso geral...
>>>
>>> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do
>>> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma
>>> certa constante a todos eles.
>>>
>>> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos
>>> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg.
>>>
>>> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos
>>> eles, menos qualquer um deles, é um número par.
>>>
>>> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento,
>>> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos
>>> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então
>>> some 1 de novo, repita e enxágue.
>>>
>>> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo
>>> até.... até.... até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando
>>> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor
>>> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, em
>>> tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1.
>>>
>>> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são
>>> todos 0, ou todos 1.
>>>
>>> ---///---
>>>
>>> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de
>>> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos
>>> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros
>>> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para
>>> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos
>>> "comensuráveis" e daí matar o problema.
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>>
>>>
>>> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali <nowras....@gmail.com>:
>>>>
>>>> Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
>>>> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
>>>> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
>>>> o problema assim que puder.
>>>>
>>>> Abraços, Nowras.
>>>>
>>>> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
>>>> escreveu:
>>>>>
>>>>>
>>>>> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa kkkk mas de
>>>>> qualquer forma obrigado
>>>>>
>>>>> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>>> > <bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>>>> >
>>>>> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos
>>>>> > n=1
>>>>> > e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
>>>>> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
>>>>> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
>>>>> > eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
>>>>> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
>>>>> > repetidos).
>>>>> >
>>>>> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
>>>>> > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a
>>>>> > soma
>>>>> > igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
>>>>> > dá mais trabalho.
>>>>> >
>>>>> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo
>>>>> > <otavio17.ara...@gmail.com>:
>>>>> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim
>>>>> >> ( passei muito tempo nela já kkk):
>>>>> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números
>>>>> >> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>>>>> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em
>>>>> >> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um
>>>>> >> desses dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>>>> >>   Prove que todos os elementos de A são iguais."
>>>>> >>
>>>>> >>
>>>>> >>
>>>>> >>
>>>>> >>
>>>>> >>
>>>>> >>
>>>>> >> --
>>>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>> >>
>>>>> >>
>>>>> >>
>>>>> >> =========================================================================
>>>>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>>>> >>
>>>>> >> =========================================================================
>>>>> >
>>>>> >
>>>>> >
>>>>> > --
>>>>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>>> >
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>>>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>>> >
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>>>>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>  acredita-se estar livre de perigo.
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>>>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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