OPA! Tem um problema no meu problema!

Em 18 de novembro de 2017 16:48, Anderson Torres
<torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> Em 15 de novembro de 2017 15:01, Otávio Araújo
> <otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>> Alguém poderia me ajudar no problema 2 da segunda fase da obm u desse ano? O
>> enunciado é o seguinte:
>> "Fixados os inteiros positivos a e b, mostre que o conjunto dos divisores
>> primos dos termos da sequencia
>> an = a · 2017^n + b · 2016^n
>> é infinito."
>
> Não é difícil difícil, apenas precisa ter a ideia certa. Aqui eu fui
> um pouco mais formalista do que o necessário, mas a ideia é que se
> construirmos uma sequência dessas com poucos primos, eles explodem.
>
> Caso I: o conjunto {p_1,p_2,...} de todos os primos que aparecem em
> todas as fatorações de a_n é infinito. Neste caso, o problema acaba
> antes mesmo de começar.
>
> Caso II: o conjunto {p_1,p_2,...,p_k} de todos os primos que aparecem
> em todas as fatorações de a_n é finito. Vamos trabalhar apenas com
> esses primos, a não ser que seja dito algo contrário.
>
> Assim sendo, podemos fatorar cada a_n da seguinte forma:
>
> a_n = p_1^(e(1,n)) * p_2^(e(2,n)) * p_3^(e(3,n)) * ... * p_k^(e(k,n))
>
> A cada a_n, vamos associar a maior dessas potências. Por exemplo, 72 =
> 2^3 * 3^2 estaria associada a 3^2, pois 3^2 = 9 > 8 = 2^3.
>
> LEMA: Seja M_n = MDC(a*2017^n, b*2016^n). Então M_n é limitada.
>
> De fato, se tentarmos fatorar, os fatores de 2017 não aparecem em 2016
> e vice-versa, dado serem primos entre si. Logo os fatores de 2017 só
> podem aparecer em b, e os fatores de 2016 só podem aparecer em a.
> Portanto, M_n = MDC(a,2016^n) * MDC(b,2017^n) | ab, logo, limitado.
>
> Vamos dividir nossa sequência em fitas de tamanho (K+1):
>
> a_(0*k+0), a_(0*k+1),...,a_(0*k+k)
> a_(1*k+0), a_(1*k+1),...,a_(1*k+k)
> a_(2*k+0), a_(2*k+1),...,a_(2*k+k)
> a_(3*k+0), a_(3*k+1),...,a_(3*k+k)
> a_(4*k+0), a_(4*k+1),...,a_(4*k+k)
> a_(5*k+0), a_(5*k+1),...,a_(5*k+k)
> ... ... ...
>
> Se aplicarmos o princípio das gavetas em cada fita separadamente,
> podemos dizer que para cada fita existe um primo tal que potências
> desse primo aparecem (pelo menos) duas vezes entre os associados.
> Vamos então anotar este primo para cada faixa:
>
> a_(0*k+0), a_(0*k+1),...,a_(0*k+k)
> a_(1*k+0), a_(1*k+1),...,a_(1*k+k)
> a_(2*k+0), a_(2*k+1),...,a_(2*k+k)
> a_(3*k+0), a_(3*k+1),...,a_(3*k+k)
> a_(4*k+0), a_(4*k+1),...,a_(4*k+k)
> a_(5*k+0), a_(5*k+1),...,a_(5*k+k)
>
>
> Como o número de faixas é infinito e o número de possíveis primos
> associados é finito, então existe um primo tal que infinitas faixas
> tenham potências desse mesmo primo associadas.
>

Esta parte é falsa, pois eu não demonstrei que as fitas com o primo P
são consecutivas, aliás é capaz que elas não sejam.

Mas isso pouco abala a demonstração, pois em cada fita existirão dois
caras com o fator P, e a distância entre eles é limitada.

> Com esse raciocínio, nós demonstramos que existe uma sub-sequência de
> a, chamemos ela de A, tal que todas as potências associadas a A são
> potências de um mesmo primo p. Além disso, a distância entre os A
> consecutivos na sequência original a é no máximo 2(k+1), afinal o pior
> que pode acontecer é que pegamos dois índices que ficavam em extremos
> opostos de faixas distintas.
>
> Pois bem, peguemos dos A_t consecutivos, a saber, a_t, e a_(t+v).
> Podemos dizer que existe um u máximo tal que p^u | a_t e p^u |
> a_(t+v). Logo,
>
> p^u | a_(t+v) - 2017^v * a_t = b * 2016^t * (2017^v-2016^v) | M_t *
> (2017^v-2016^v)
>
> Mas isto implica p^u <= M_t * (2017^v-2016^v) <= ab *
> (2017^(2k+2)-2016^(2k+2)), ou seja, p^u é limitado.
>
> Porém, a_t = p_1^(e(1,t)) * p_2^(e(2,t)) * p_3^(e(3,t)) * ... *
> p_k^(e(k,t)) <= p^u * p^u * p^u * ... * p^u = (p^u)^k, o que implica
> que (p^u) é ilimitado (pois a_t é ilimitado).
>
> E isto é um absurdo! Logo, o nosso caso II não se sustenta - e ficamos
> com o caso I apenas!
>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> Já que você diz...

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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