OPA! Tem um problema no meu problema! Em 18 de novembro de 2017 16:48, Anderson Torres <[email protected]> escreveu: > Em 15 de novembro de 2017 15:01, Otávio Araújo > <[email protected]> escreveu: >> Alguém poderia me ajudar no problema 2 da segunda fase da obm u desse ano? O >> enunciado é o seguinte: >> "Fixados os inteiros positivos a e b, mostre que o conjunto dos divisores >> primos dos termos da sequencia >> an = a · 2017^n + b · 2016^n >> é infinito." > > Não é difícil difícil, apenas precisa ter a ideia certa. Aqui eu fui > um pouco mais formalista do que o necessário, mas a ideia é que se > construirmos uma sequência dessas com poucos primos, eles explodem. > > Caso I: o conjunto {p_1,p_2,...} de todos os primos que aparecem em > todas as fatorações de a_n é infinito. Neste caso, o problema acaba > antes mesmo de começar. > > Caso II: o conjunto {p_1,p_2,...,p_k} de todos os primos que aparecem > em todas as fatorações de a_n é finito. Vamos trabalhar apenas com > esses primos, a não ser que seja dito algo contrário. > > Assim sendo, podemos fatorar cada a_n da seguinte forma: > > a_n = p_1^(e(1,n)) * p_2^(e(2,n)) * p_3^(e(3,n)) * ... * p_k^(e(k,n)) > > A cada a_n, vamos associar a maior dessas potências. Por exemplo, 72 = > 2^3 * 3^2 estaria associada a 3^2, pois 3^2 = 9 > 8 = 2^3. > > LEMA: Seja M_n = MDC(a*2017^n, b*2016^n). Então M_n é limitada. > > De fato, se tentarmos fatorar, os fatores de 2017 não aparecem em 2016 > e vice-versa, dado serem primos entre si. Logo os fatores de 2017 só > podem aparecer em b, e os fatores de 2016 só podem aparecer em a. > Portanto, M_n = MDC(a,2016^n) * MDC(b,2017^n) | ab, logo, limitado. > > Vamos dividir nossa sequência em fitas de tamanho (K+1): > > a_(0*k+0), a_(0*k+1),...,a_(0*k+k) > a_(1*k+0), a_(1*k+1),...,a_(1*k+k) > a_(2*k+0), a_(2*k+1),...,a_(2*k+k) > a_(3*k+0), a_(3*k+1),...,a_(3*k+k) > a_(4*k+0), a_(4*k+1),...,a_(4*k+k) > a_(5*k+0), a_(5*k+1),...,a_(5*k+k) > ... ... ... > > Se aplicarmos o princípio das gavetas em cada fita separadamente, > podemos dizer que para cada fita existe um primo tal que potências > desse primo aparecem (pelo menos) duas vezes entre os associados. > Vamos então anotar este primo para cada faixa: > > a_(0*k+0), a_(0*k+1),...,a_(0*k+k) > a_(1*k+0), a_(1*k+1),...,a_(1*k+k) > a_(2*k+0), a_(2*k+1),...,a_(2*k+k) > a_(3*k+0), a_(3*k+1),...,a_(3*k+k) > a_(4*k+0), a_(4*k+1),...,a_(4*k+k) > a_(5*k+0), a_(5*k+1),...,a_(5*k+k) > > > Como o número de faixas é infinito e o número de possíveis primos > associados é finito, então existe um primo tal que infinitas faixas > tenham potências desse mesmo primo associadas. >
Esta parte é falsa, pois eu não demonstrei que as fitas com o primo P são consecutivas, aliás é capaz que elas não sejam. Mas isso pouco abala a demonstração, pois em cada fita existirão dois caras com o fator P, e a distância entre eles é limitada. > Com esse raciocínio, nós demonstramos que existe uma sub-sequência de > a, chamemos ela de A, tal que todas as potências associadas a A são > potências de um mesmo primo p. Além disso, a distância entre os A > consecutivos na sequência original a é no máximo 2(k+1), afinal o pior > que pode acontecer é que pegamos dois índices que ficavam em extremos > opostos de faixas distintas. > > Pois bem, peguemos dos A_t consecutivos, a saber, a_t, e a_(t+v). > Podemos dizer que existe um u máximo tal que p^u | a_t e p^u | > a_(t+v). Logo, > > p^u | a_(t+v) - 2017^v * a_t = b * 2016^t * (2017^v-2016^v) | M_t * > (2017^v-2016^v) > > Mas isto implica p^u <= M_t * (2017^v-2016^v) <= ab * > (2017^(2k+2)-2016^(2k+2)), ou seja, p^u é limitado. > > Porém, a_t = p_1^(e(1,t)) * p_2^(e(2,t)) * p_3^(e(3,t)) * ... * > p_k^(e(k,t)) <= p^u * p^u * p^u * ... * p^u = (p^u)^k, o que implica > que (p^u) é ilimitado (pois a_t é ilimitado). > > E isto é um absurdo! Logo, o nosso caso II não se sustenta - e ficamos > com o caso I apenas! > >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > Já que você diz... -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
