Uma ideia legal Para provar que (-1,1) tem bijeção com R, seria usar f(x) =
x/(x^2-1) provando que ela eh injetiva e sobrejetiva

On Jan 16, 2018 01:20, "Anderson Torres" <torres.anderson...@gmail.com>
wrote:

> Eu na verdade pensei ao contrário:
>
> Começamos com o conjunto de todos os subconjuntos de N. Cada conjunto
> será representado por uma string infinita de zeros e unzes, da
> seguinte forma: Se o conjunto contiver o natural x, o x-ésimo
> caractere desta string será 1; caso contrário, será 0.
>
> Botando zero-vírgula na frente, obtemos um número real escrito em base
> 2, contido no intervalo [0,1] (para efeito de completude do argumento,
> admitiremos strings infinitas de 1zes).
>
> Para cada real em [0,1], bastaria escrever na base 2 e criar um
> conjunto a partir daí, seguindo os passos acima (se o X-esimo dígito é
> 1, escolhe X, caso contrário, despreza X).
>
> Isso prova que existe uma bijeção entre o conjunto das partes de N e o
> intervalo [0,1].
>
> Agora, provar que [0,1] tem a mesma cardinalidade que R é mais
> chatinho. Dá para pensar geometricamente:
>
> Primeiro, [0,1] tem a mesma cardinalidade de [-1,+1], basta dobrar e
> tirar 1 (f(x)=2x-1).
>
> Agora, como demonstrar que [-1,+1] bijeta com todos os reais? Bem,
> isso não me parece complicado: se pensarmos na inversão de centro zero
> e raio um, o elemento X<1 vai ser levado em 1/X>1. Assim, todo número
> fora de [-1,+1] é bijetado com um dentro de [-1,+1] - podemos
> convencionar que -1,0,+1 vão neles mesmos.
>
> Para sermos mais precisos, o intervalo [0,1] é bijetado em [1,+inf], e
> o intervalo [-1,0] em [-inf,-1]
>
> Agora vem o toque final: acrescente 1 em cada elemento do intervalo
> [-inf,-1], diminua 1 em cada elemento de [1,+inf] e una os resultados.
> Com isso, obtemos uma bijeção de [-inf,-1] união [1,+inf] com toda a
> reta!
>
> E acabou!
> Em 15 de janeiro de 2018 17:11, Igor Caetano Diniz
> <icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
> > Olá Sávio,
> > Muito obrigado. Tava pensando em algo parecido mas agora voce esclareceu
> > bastante.
> > Abraços
> >
> > On Jan 15, 2018 16:55, "Sávio Ribas" <savio.ri...@gmail.com> wrote:
> >>
> >> Boa tarde!
> >> A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual
> à
> >> cardinalidade de [0,1].
> >> Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por
> >> exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR
> dada
> >> por f(x) = tg(pi*x/2).
> >> O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que
> o
> >> intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) ->
> >> (-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no
> domínio
> >> de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto enumerável A =
> >> {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte: Seja B = {0,
> 1,
> >> a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por h(x) = x se x
> não
> >> está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se n>2 é uma bijeção
> >> (verifique).
> >> Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí,
> >> concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade.
> >>
> >> Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja
> >> 0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com
> infinitas
> >> casas (por exemplo, 1 será representado por 0,11111...). Essa escrita
> >> binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da
> >> seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e
> somente se
> >> b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,0000..., IN
> corresponde
> >> ao 1 = 0,1111... e {2,3,5,7} corresponde a 0,011010100000...). Dessa
> forma,
> >> construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1].
> >>
> >> Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão
> em
> >> bijeção com [0,1].
> >>
> >> Sávio
> >>
> >>
> >> Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" <
> icaetanodi...@gmail.com>
> >> escreveu:
> >>>
> >>> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar
> >>> hipótese do contínuo)
> >>>
> >>> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
> >>> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|
> >>>
> >>>
> >>> quem puder ajudar, agradeço.
> >>>
> >>> Abraços
> >>>
> >>> --
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> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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