Uma possível prova para x negativo, caso de n par, é: Seja f(u) = u^n - n^ u. Então, f’(u) = n u^(n - 1) - n^u ln(n) < 0 para u < 0, pois n - 1 é ímpar e n > e. Logo, f é estritamente decrescente em (-oo, o). E como f(-1) = 1 -1/n > 0 e f(0) = 0, f tem uma raíz negativa x, que se encontra em (-1, 0).
Façamos y = -x, de modo que y está em (0, 1). Como n é par, isto nos leva a que y^n = 1/n^y (1) Se y for racional, então y =p/q para inteiros positivos p e q. Substituindo acima, chegamos a que y = 1/[n^p)^(1/nq)] Como y é racional, o mesmo se verificar para o denominador do 2o membro da equação acima. E como este é da forma a^(1/b), a e inteiros positivos, então o denominador é inteiro. Segue-se assim que y = 1/m para algum inteiro m >= 2, pois y está em (0, 1). Substitui do em (1) e fazendo alguma álgebra, chegamos a (m^m)^n = n. Mas para todo m >= 2 e todo n >= 2 temos que (m^m)^n >= 4^n > n, o que comprovamos facilmente por indução. Logo, nunca temos (m^m)^n = n, contradição que mostra que y é irracional. Se y for algébrico, então y^n é algébrico. E como n é algébrico distinto de 0 e de 1, o Teorema de Gelfond/Schneider mostra que n^y e, portanto seu inverso, são transcendentes. Assim, de (1) obtemos a contradição algébrico = transcendente, a qual mostra que y e, portanto, x= -y, são transcendentes. Artur Enviado do meu iPad -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
