Bom dia!
Agora estou contente. Posso alardear que pelo menos matei um problema da
IMO.

(s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1<s<t<u

k(s,t,u) = (stu-1)/(s-1)(t-1)(u-1)

Como k(s,t,u) > 1 temos que k(s,t,u) >=2 e só atende quando k(s,t,u) é
inteiro.
Fixando-se duas váriaveis  k é monótona decrescente para a outra; assim
kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então
s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4.

fazendo um estudo de paridade: se uma das variáveis for par as outras duas
também serão e k será ímpar. Se uma das variáveis for ímpar, todas serão
ímpares e k poderá ser tanto ímpar quanto par.

u   s   v  k
P  P   P I
I    I    I  -

s=2. k>=3 Para kmax (2,t) = k(2,t,t+1) = (2t(t+1)-1)/t(t-1)>=3 então:
2t(t+1)/t(t-1) >3 : t < 5, pela paridade t=4 e kmax(2,4) = 47/15, só serve
k = 3.

s=2, t=4 e k=3 temos v=8. (2,4,8)

s=3 k>=2 Para kmax (3,t) = k(3,t,t+1) = (3t(t+1)-1)/2t(t-1)>=2 então:
3t(t+1)/2t(t-1) >2 : t < 7, pela paridade t=5 e kmax(3,5) = 13/6, só serve
k = 2.

s=3, t= 5 e k=2 temos v= 15. (3,5,15)

Só atendem: (2,4,8) e (3,5,15)

Achei curioso que em ambas soluções, u=st.

Saudações,
PJMS



Em 26 de março de 2018 09:44, Matheus Secco <matheusse...@gmail.com>
escreveu:

> De fato, trata-se do problema 1 da IMO 1992.
>
> Abs,
>
> Matheus Secco
>
> Em Seg, 26 de mar de 2018 09:24, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Muito fácil pra ser de IMO...
>>
>> 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>:
>>
>>> Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido,
>>> quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e
>>> calcular os possiveis valores de
>>> 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar
>>> os valores de a,b,c.
>>>
>>> Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara
>>> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>> > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema...
>>> >
>>> > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que:
>>> > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k  (k inteiro positivo)
>>> >
>>> > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a
>>> mesma
>>> > coisa, chegamos a:
>>> > stu - 1 =  (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) +
>>> (s-1) +
>>> > (t-1) + (u-1)
>>> >
>>> > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos:
>>> > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
>>> > 1/((s-1)(t-1)) = k ==>
>>> >
>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
>>> > 1/((s-1)(t-1)) = k-1
>>> >
>>> > Agora a ideia é achar cotas para s e para k.
>>> >
>>> > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor
>>> ou
>>> > igual que:
>>> > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6
>>> >
>>> > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser
>>> igual a
>>> > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3.
>>> >
>>> > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo,
>>> igual
>>> > a:
>>> > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1.
>>> >
>>> > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3.
>>> >
>>> > s = 2 ==>
>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==>
>>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==>
>>> > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto:
>>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==>
>>> > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==>
>>> > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==>
>>> > t = 4 e u = 8   ou   t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do
>>> que
>>> > u)
>>> >
>>> > s = 3 ==>
>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) =
>>> k-1 ==>
>>> > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==>
>>> > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==>
>>> > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==>
>>> > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==>
>>> > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k)
>>> >
>>> > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15
>>> >
>>> > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX
>>> >
>>> > As únicas soluções são:
>>> > (2,4,8) e (3,5,15)
>>> >
>>> > []s,
>>> > Claudio.
>>> >
>>> > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>:
>>> >>
>>> >> Boa tarde!
>>> >>
>>> >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem
>>> um
>>> >> que achei mais interessante.
>>> >>
>>> >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1 <s<t<u
>>> >>
>>> >> Saudações,
>>> >> Pedro
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> ============================================================
>>> =============
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> ============================================================
>>> =============
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Responder a