2018-03-27 21:40 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>:
> Em 27 de março de 2018 21:16, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > Acho que você viajou no chocolate... > > > > Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base > > quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas, > > Ah! Então a cobertura é uma "lâmina", e não uma capa grossa... > > Sim. > A solução mais trivial para o caso de potências de dois é meramente > fazer cortes radiais. Tenso é garantir que isso de alguma forma vale > para o caso geral: traçar raios partindo do centro do bolo que dividem > área e volume igualmente. Preciso fazer contas antes de verificar se > isso pode ser feito! > > Faça as contas. > Mais uma coisa: acredito que por transformação afim seja possível > resolver isso para um bolo cúbico... > > Mas um cubo é um prisma de base quadrada. A transformação afim é apenas um achatamento (ou alongamento) na direção vertical. Só que eu não acho que fica mais fácil com um cubo. > > em > > sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais - > isso > > não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez > ajude), > > todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada. > > > > Dicas: > > 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial, > certo? E > > dividir em 3 pedaços? > > 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você > > precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3 > pedaços > > você não só resolverá o problema original como também conseguirá > generalizar > > pra outros formatos de bolo. > > 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada. > > > > > > > > 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com > >: > >> > >> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara > >> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> > Achei estes dois bonitinhos: > >> > > >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a > um > >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. > >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o > >> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o > >> > teorema > >> > de Ptolomeu). > >> > > >> > > >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base > quadrada e > >> > tem > >> > cobertura no topo e nas quatro faces. > >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba > a > >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. > >> > >> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura? > >> > >> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo > >> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite > >> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no > >> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de > >> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos. > >> > >> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é > >> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo > >> a dividir cada ingrediente ao meio. > >> > >> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate > >> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole > >> restante. É melhor que o liquidificador, vai... > >> > >> > >> > > >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a > >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. > >> > > >> > []s, > >> > Claudio. > >> > > >> > > >> > > >> > -- > >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> > acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> ============================================================ > ============= > >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> ============================================================ > ============= > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
