Bom dia!

Dei uma "roubadinha" e achei outra solução, pois veio de trás para a
frente. Veio da observação que nas respostas u=st.

(s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1<s<t<u

Como k(s,t,u) > 1 temos que k(s,t,u) >=2 e só atende quando k(s,t,u) é
inteiro.
Fixando-se duas váriaveis  k é monótona decrescente para a outra; assim
kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então
s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4.

(s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 então: (u-1) | ust-1, então: (u-1) | ust -st; então
(u-1) | st-1

temos que m (u-1) = st -1, (u-1) = (st-1)/m, com m inteiro. Então m < s,
para que u > t.

s=2, só serve m =1==> u=st. donde: (s-1)(t-1)(u-1) | (st)^2-1 ;
(s-1)(t-1)(u-1) | (u-1)(st+1); (s-1)(t-1) | (st+1)

(t-1)| | 2t+1; (t-1) | 3. t-1 <= 3 ==> t=4 (paridade -se uma das incógnitas
for par todas serão e se uma for ímpar todas serão - e t>s)  e u =st=8, que
verificando atende a proposição. (2,4,8)

s=3 há duas opções m=1 ou m=2

com m=1. (s-1)(t-1) | (st+1);  2(t-1) | 3t+1 ; 2(t-1) | t-1 <=4 ==> t=5
(paridade e t>s) c= st = 15 e atende a proposição (3,5,15)

com m=2 u= (st-1)/2 +1 ==> (s-1)(t-1) | ((st-1)/2 +1)st -1; 2(t-1) <=
(9t^2+3t)/2 -1; impossível.

Logo só há as soluções anteriores (2,4,8) e (3,5,15).

Saudações,
PJMS.

Em 26 de março de 2018 10:49, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia!
> Agora estou contente. Posso alardear que pelo menos matei um problema da
> IMO.
>
> (s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1<s<t<u
>
> k(s,t,u) = (stu-1)/(s-1)(t-1)(u-1)
>
> Como k(s,t,u) > 1 temos que k(s,t,u) >=2 e só atende quando k(s,t,u) é
> inteiro.
> Fixando-se duas váriaveis  k é monótona decrescente para a outra; assim
> kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então
> s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4.
>
> fazendo um estudo de paridade: se uma das variáveis for par as outras duas
> também serão e k será ímpar. Se uma das variáveis for ímpar, todas serão
> ímpares e k poderá ser tanto ímpar quanto par.
>
> u   s   v  k
> P  P   P I
> I    I    I  -
>
> s=2. k>=3 Para kmax (2,t) = k(2,t,t+1) = (2t(t+1)-1)/t(t-1)>=3 então:
> 2t(t+1)/t(t-1) >3 : t < 5, pela paridade t=4 e kmax(2,4) = 47/15, só serve
> k = 3.
>
> s=2, t=4 e k=3 temos v=8. (2,4,8)
>
> s=3 k>=2 Para kmax (3,t) = k(3,t,t+1) = (3t(t+1)-1)/2t(t-1)>=2 então:
> 3t(t+1)/2t(t-1) >2 : t < 7, pela paridade t=5 e kmax(3,5) = 13/6, só serve
> k = 2.
>
> s=3, t= 5 e k=2 temos v= 15. (3,5,15)
>
> Só atendem: (2,4,8) e (3,5,15)
>
> Achei curioso que em ambas soluções, u=st.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em 26 de março de 2018 09:44, Matheus Secco <matheusse...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> De fato, trata-se do problema 1 da IMO 1992.
>>
>> Abs,
>>
>> Matheus Secco
>>
>> Em Seg, 26 de mar de 2018 09:24, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Muito fácil pra ser de IMO...
>>>
>>> 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>
>>> :
>>>
>>>> Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido,
>>>> quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e
>>>> calcular os possiveis valores de
>>>> 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar
>>>> os valores de a,b,c.
>>>>
>>>> Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara
>>>> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>> > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema...
>>>> >
>>>> > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que:
>>>> > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k  (k inteiro positivo)
>>>> >
>>>> > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a
>>>> mesma
>>>> > coisa, chegamos a:
>>>> > stu - 1 =  (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) +
>>>> (s-1) +
>>>> > (t-1) + (u-1)
>>>> >
>>>> > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos:
>>>> > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
>>>> > 1/((s-1)(t-1)) = k ==>
>>>> >
>>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
>>>> > 1/((s-1)(t-1)) = k-1
>>>> >
>>>> > Agora a ideia é achar cotas para s e para k.
>>>> >
>>>> > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor
>>>> ou
>>>> > igual que:
>>>> > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6
>>>> >
>>>> > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser
>>>> igual a
>>>> > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3.
>>>> >
>>>> > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo,
>>>> igual
>>>> > a:
>>>> > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1.
>>>> >
>>>> > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3.
>>>> >
>>>> > s = 2 ==>
>>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==>
>>>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==>
>>>> > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto:
>>>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==>
>>>> > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==>
>>>> > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==>
>>>> > t = 4 e u = 8   ou   t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor
>>>> do que
>>>> > u)
>>>> >
>>>> > s = 3 ==>
>>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) =
>>>> k-1 ==>
>>>> > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==>
>>>> > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==>
>>>> > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==>
>>>> > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==>
>>>> > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k)
>>>> >
>>>> > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15
>>>> >
>>>> > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX
>>>> >
>>>> > As únicas soluções são:
>>>> > (2,4,8) e (3,5,15)
>>>> >
>>>> > []s,
>>>> > Claudio.
>>>> >
>>>> > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>:
>>>> >>
>>>> >> Boa tarde!
>>>> >>
>>>> >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas,
>>>> tem um
>>>> >> que achei mais interessante.
>>>> >>
>>>> >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1 <s<t<u
>>>> >>
>>>> >> Saudações,
>>>> >> Pedro
>>>> >>
>>>> >> --
>>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
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>>>>  acredita-se estar livre de perigo.
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