Oi Claudio,
Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um polinômio em Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em Z[x] por 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1 e 2|c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares, donde a^2+b^2=2 (mod 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o coeficiente ac de z ainda par - assim, a afirmação do Artur para polinômios quadráticos continua provada.
   Abraços,
             Gugu

Quoting Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:

Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c
inteiros), então também terá (a-bi)/c.
Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)
(incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:
2ac é necessariamente par).

f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas
3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma
de dois quadrados.

[]s,
Claudio.



2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>:

Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um
pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com
ambas as partes racionais.

Artur Costa Steiner

Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

Mostre que o polinômio

P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
x^129 + 67917

não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

Abraços.

Artur Costa Steiner


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