Esse fato é consequência do seguinte teorema:

Seja P um polinômio de coeficientes inteiros tal que:

- o coeficiente do termo líder e o termo independente são ímpares

- o número total de coeficientes ímpares é ímpar

Então, P não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais.

Artur Costa Steiner

Em 10 de abr de 2018 18:40, g...@impa.br escreveu:

    Oi Claudio,
    Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um 
polinômio em Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em 
Z[x] por 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1 
e 2|c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares, 
donde a^2+b^2=2 (mod 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o 
coeficiente ac de z ainda par - assim, a afirmação do Artur para 
polinômios quadráticos continua provada.
    Abraços,
              Gugu

Quoting Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:

> Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c
> inteiros), então também terá (a-bi)/c.
> Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)
> (incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:
> 2ac é necessariamente par).
>
> f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas
> 3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma
> de dois quadrados.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> 2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>:
>
>> Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um
>> pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com
>> ambas as partes racionais.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Mostre que o polinômio
>>>
>>> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
>>> x^129 + 67917
>>>
>>> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>>>
>>> Abraços.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
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>  acredita-se estar livre de perigo.




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