Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
contínua em nenhum ponto.

2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardo...@gmail.com>:
> Oi Claudio,
>
> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>
> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> todo a.
>
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> contínua"...
>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>:
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =========================================================================
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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