Sauda,c~oes, 

Mandei a mensagem abaixo dessa na 6a.feira mas acho que não chegou. 

Terminei a dita mensagem com a pergunta 


Como concluir (seria possível ?) a partir de (*) 
que \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)} = 0 ? 

Na verdade o Gugu provara (*) para o caso real, ou seja, Q(x) e não 
Q(z). Talvez seja possível provar (*) para Q(z) com alguma 
adaptação. 
Aqui vou provar a soma pedida para os polinômios com os coeficientes 
reais. 

Seja 



1/Q(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}\frac{1}{x-a_k}   (*)

 
obtida a partir de 


\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x-a_k}
 
Igualando o denominador de todas as parcelas do somatório (*) 
obtém-se 
um polinômio no numerador cujo termo líder é x^{n-1} e seu 
coeficiente 
vale \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}. Então para n>=2 esta soma tem 
que 
ser igual a zero pois por (*) o polinômio obtido só possui o termo 
independente 
1. 

Abs, 
Luís 



==== mensagem enviada na última 6a.feira
Sauda,c~oes, 
 
Há algum (bastante) tempo atrás o Gugu (se me permitem) 
mandou para a lista a prova do seguinte resultado: 
 
====
Sejam P(z) e Q(z) dois polinômios, de graus m e n, respectivamente, 
e m<n. Se todas as n raízes a_k de Q(z) são raízes 
simples, 
então a decomposição em frações parciais de 
P(z)/Q(z) 
pode ser expressa da seguinte maneira (\frac{A}{B}=A/B) :
 
\frac{P(z)}{Q(z)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{z-a_k}
onde Q'(z)=\frac{d}{dz}Q(z). 
====
 
Então se P(z) = 1 para todo z, 
 

1/Q(z) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}\frac{1}{z-a_k}   (*)
 
Como concluir (seria possível ?) a partir de (*) 
que \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)} = 0 ? 
 
Abs, 
Luís 

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv´┐Żrus e
acredita-se estar livre de perigo.

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