2018-04-16 20:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:
> Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso.
>
> Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica da
> expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais e
> distintas.
>
> Grau 2 é meio evidente:  as retas tangentes à parábola nas raízes têm
> inclinações de mesma magnitude e sinais opostos.

A média harmônica das inclinações é zero, o que mesmo algébrico, não
deixa de ser interessante.  E talvez "baste" achar uma visão
geométrica da média harmônica neste contexto. Outra forma de dar a
mesma equação é que "a última inclinação" é (o oposto) da média
harmônica das outras.  Como interpretar isso, tenho menos ideia
ainda...


> Grau 3 é mais interessante...
> De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes
> (ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem raízes
> são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes ao
> gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n,
> respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
> (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte de
> contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é -mn/(m+n).

Também é verdade (graças ao Douglas e o Polinômio Interpolador de
Lagrange) que a/m + b/n - c(m+n)/mn = 0, ou seja, an + bm = c(m+n), o
que dá uma relação entre m e n em função das raízes.  Observe que isso
está "certo" (de novo do ponto de vista algébrico), pois o polinômio
tem 4 coeficientes, e além das 3 raízes, precisamos de um fator
multiplicativo, que pode ser dado de várias formas: tipicamente, é o
coeficiente de mais alto grau ou o valor em um ponto particular que
não seja zero, mas agora acabamos de ver que poderia até ser a
inclinação de uma tangente a uma raiz simples! (a, b, c, m determinam
tudo!)

Aliás, isso sugere que talvez haja uma demonstração puramente
algébrica para tudo isso, contando dimensões.  O número de
coeficientes do polinômio é (n+1).  Por outro lado, dados n valores
x_i (para as raízes), e n valores m_i (para as derivadas nestes
pontos), sabemos que há n-1 equações G(X_i, M_i) = 0 para "acertar a
dimensão".  Claro que as equações devem ser simétricas nos X_i e
M_i... mas isso ainda não basta para mostrar a forma especial \sum
X_i^k / M_i = 0...  Alguém tem uma ideia?  Por exemplo, já pode ser um
bom passo mostrar que as equações são homogêneas em X e M.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================

Responder a