Dá para fazer com interpolação de Lagrange: o único polinômio de grau <=n-1 que vale 1 em r_i para 1<=i<=n (que obviamente é o polinômio constante igual a 1) é dado por soma_(1<=i<=n)Produto_(j<>i)((x-r_j)/(r_i-r_j)). Aí é só olhar para o coeficiente de x^[n-1} (que é 0).
   Abraços,
             Gugu

Quoting Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:

Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso.

Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica
da expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais
e distintas.

Grau 2 é meio evidente:  as retas tangentes à parábola nas raízes têm
inclinações de mesma magnitude e sinais opostos.

Grau 3 é mais interessante...
De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes
(ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem
raízes são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes
ao gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n,
respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no
ponto (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte
de contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é
-mn/(m+n).

[]s,
Claudio.

2018-04-16 14:10 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para
casos elementares.

Douglas Oliveira

Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
> Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.

Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1
(interpolando em n pontos, vamos até grau n-1).  E é, de fato, falso
para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1).

Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se
aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para
mostrar que a soma não dá mais zero.

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

--
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