Não se garante, neste caso, que todo número formado pelos b(i) seja
racional, não obtendo-se, portanto, a procurada bijeção entre racionais e
naturais. Ela pode ser obtida percorrendo diagonalmente uma tabela contendo
todas as frações, começando por 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3 ... na
primeira linha, 2/1, -2/3, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3 ... na segunda e assim por
diante. O conjunto das frações equivalentes como 1/2 e 2/4 é enumerável e
pode ser descartado, restando uma bijeção entre racionais e inteiros (que
são enumeráveis).

Um abraço.

On Wed, Apr 18, 2018, 7:58 AM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>
wrote:

> Agora, uma pergunta:
>
> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
> que termina por 9999...)?
> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter
> (0,1) é enumerável?
> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
> lista).
> Como pode?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>:
>
>> Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
>> <rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>> > Olá, Ronei!
>> > Fiz essa pergunta para o Bernardo...
>> > Um abraço!
>> > Luiz
>> >
>> >
>> > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró <rlbad...@gmail.com>
>> wrote:
>> >>
>> >> Não é a tal diagonal de Cantor?
>>
>> Sim, é este o nome.
>>
>> >>
>> >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >> <bernardo...@gmail.com> escreveu:
>> >>>
>> >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com>:
>> >>> > Olá, amigos!
>> >>> > Bom dia!
>> >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho
>> que
>> >>> > eu
>> >>> > reproduzi abaixo.
>> >>> >
>> >>> >
>> >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
>> >>> > possível
>> >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
>> >>> > (...)
>> >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
>> >>> > termos
>> >>> > são iguais a zero ou um.
>> >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
>> >>> > sequência de
>> >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
>> >>> > sequência s
>> >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo:
>> se o
>> >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
>> >>> > senão, é
>> >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo
>> de s
>> >>> > é 1;
>> >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n)
>> >>> > como
>> >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s
>> assim
>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n).
>> Logo,
>> >>> > não
>> >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
>> >>> > elementos de
>> >>> > C aparecessem como imagem!
>> >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
>> >>> > construir uma
>> >>> > bijeção de N em C.
>> >>> >
>> >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>> >>>
>> >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
>> >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>> >>>
>> >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
>> >>> 1 -> 0100101010101
>> >>> 2 -> 010101010101
>> >>> 3 -> 1111111111001
>> >>> 4 -> 000000000000
>> >>> 5 -> 1110111010101
>> >>>
>> >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
>> >>> cada um dos elementos, um a um:
>> >>>
>> >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
>> >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>> >>>
>> >>> s = 1....
>> >>>
>> >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é
>> 1):
>> >>>
>> >>> s = 10....
>> >>>
>> >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
>> >>> O quarto, s = 1001...
>> >>> O quinto, s = 10010
>> >>>
>> >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
>> >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
>> >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
>> >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
>> >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
>> >>> a sequência dos opostos.
>> >>>
>> >>> Abraços,
>> >>> --
>> >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>>
>> >>>
>> >>>
>> =========================================================================
>> >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >>>
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>> >>
>> >>
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>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
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>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>>  acredita-se estar livre de perigo.
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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