Hmmm... Acho que eles permitem que usemos m e n negativos...

Por exemplo, podia ser m=2000 e n=-1. Então a fração seria 0/(2000^2-1),
que pode ser simplificada para 0/1 dividindo por
d=2000^2-1=4000000-1=3999999...
...cuja soma dos algarismos eh 57, como eles parecem querer.

Para provar que esse d eh maximo, note que d|m+2000n e d|n+2000m, portanto
d|2001(m+n).

Mas se d tivesse fator comum com m+n, ele apareceria tambem em
(2000m+n)-(m+n)=1999m. Mas d nao poderia ter fator comum com m (pois, tendo
com m+n, teria com n tambem, e (m,n)=1), entao o unico fator possivel de d
em m+n eh aquele 1999.

Mas, como d|2001(m+n) e o unico fator possivel de d em m+n eh 1999, entao
d|1999.2001=(2000)^2-1... E portanto d<=2000^2-1.

Abraco, Ralph.

2018-05-15 23:18 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>:

> > 2) os inteiros m e n são primos entre si. Sabendo que a fração (m +
> > 2000n)/(n +2000m) pode ser simplificado cancelando o divisor comum d. A
> soma
> > dos algarismos do maior valor que d pode assumir é igual a:
> > R: 57
>
> d|m+2000n
> d|n+2000m
> d|1999(m-n)
>
> 1999 é primo
>
> Se d=1999, 1999|m+2000n, 1999|m+n, basta escolher m=1, n=1998, que
> funciona.
>
> A soma dos dígitos de 1999 na base 10 é 28
>
> P.S.: para deixar a lista mais organizada, envie apenas um problema
> por e-mail. A não ser que você queira enviar a prova toda.
>
> Em outras palavras: se quiser enviar problemas soltos, envie um por vez.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =========================================================================
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Responder a