Mais uma observação... As três razões que entram na aplicação final do teorema de Menelaus recíproco ( AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1 ) devem ser expressas em termos de comprimentos de segmentos do triângulo ABC que, de alguma forma, terão que se cancelar (pro produto ser igual a 1).
Assim, por exemplo, a expressão final de BP/PC não poderá ser em termos de DH e EH, pois estes dois segmentos só são relevantes em relação ao lado BC e à altura AH, mas não em relação ao lado AC e a correspondente altura BK (K em AC), e nem ao lado AB e altura CJ (J em AB). No entanto, o teorema de Ceva aplicado às alturas (que são concorrentes), implica que: AJ/JB * BH/HC * CK*KA = 1. Isso significa que talvez devêssemos procurar expressar a razão BP/PC em termos de BH e HC. []s, Claudio. 2018-07-18 10:59 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: > A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada". > > Mas também acho que Menelaus é o caminho. > > Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o > teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = -1) > a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são sabidamente > colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são colineares, você aplica > o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos colineares). > > Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: AR/RB * > BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos segmentos é > relevante nesse problema, basta trabalhar com os comprimentos sem sinal: > AR/RB > * BP/PC * CQ/QA = 1) > > Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários > triângulos retângulos. > Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também > semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são > semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos homólogos, > escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um bom hábito que > evita erros bobos). > > Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC > cortado pela reta PDE. > Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB * BP/PC > * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE. > > Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei > acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são AHC, > AEH e HEC). > > A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD. > A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE. > Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB (idem > para EA*CE). > > E neste ponto eu empaquei... > > Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante a > HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, de > alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a encontrar > expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua vez, nos > daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do recíproco do teorema > de Menelaus. > > Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso > recomeçar do zero...matemática é assim mesmo... > > []s, > Claudio. > > > 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <[email protected]>: > >> A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema >> de Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer? >> >> Obrigado! >> >> >> >> Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos >> as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o ponto da >> interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e >> C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados AC e AB. >> Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
