Vamos fazer este por vetores... Mas primeiro um tiquinho de notacao: dados dois vetores v e w no plano, vou escrever [v,w] para o determinante da matriz cujas colunas sao v e w; em outras palavras, [v,w] eh a area do paralelogramo cujos lados sao v e w, com sinal determinado pela orientacao.
Uma propriedade importante do determinante eh que ele eh linear em cada uma das suas coordenadas (ou seja, ele eh "bilinear"). Em outras palavras, voce pode usar a propriedade distributiva como se ele fosse um produto: [ka+b,c]=k[a,c]+[b,c] e [a,kb+c]=k[a,b]+[a,c] para quaisquer vetores a,b,c, e qualquer escalar k. Outra propriedade essencial eh que [v,w]=-[w,v] para quaisquer v e w; em particular, [x,x]=0 para todo vetor x. Com isso em mente, o problema eh facil. Escreva AB=2v e AC=2w (vetores). Supondo spdg uma das orientacoes possiveis, o problema diz que [2v,2w]=2, isto eh, [v,w]=1/2. Agora, as medianas sao (faca uma figura) v-2w, w-2v e v+w (dos vertices para os pontos medios). Note que a soma desses 3 vetores eh zero, entao o triangulo cujos lados sao as medianas eh exatamente o triangulo cujos lados sao esses 3 vetores! Portanto, a area pedida eh a metade de [w-2v,v-2w]... Usando a propriedade distributiva, esse produto fica [w,v]-2[w,w]-2[v,v]+4[v,w]=-1/2-0-0+4/2=3/2. Ou seja, a resposta eh 3/4. Abraco, Ralph. On Sat, Jul 28, 2018 at 4:43 PM marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> wrote: > Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do > triangulo cujos lados sao iguais às medianas do triangulo ABC > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
