Esta sua solução por séries é bem interessante. Valeu! A justificativa para
transformar a integral  de uma série em uma série dr integrais é
convergência uniforme da série, certo?

Eu prnsei numa solução baseada em I1(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a), a > 0.
Fazendo x = 1/t demonstramos que I1(1) = 0. Depois, fazendo x = at, vamos
cair numa integral que dá arctan e deduzimos que

I1(a) = (Pi log(a))/(4raiz(a)), a > 0

Sendo I2(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a)^2, vemos que o integrando de I2(a)
é  -d/da 1/(x^2 + a), o simétrico da derivada parcial com relaçâo a a do
integrando de I1(a). Para a >= 1, o valor absoluto desta derivada é
dominado em (0, inf) pela função de x

f(x) = log(x)/(x^2 + 1), x em (0, 1], que já vimos ser integrável neste
intervalo

f(x) = log(x)/x^2, x em (1, inf). Uma simples integração por partes mostra
que este ramo de f é integrável em (1, inf).

Assim, para a >= 1, f domina o integrando de I2(a) em (0, inf) e é
integrável no mesmo. Segundo um teorema da Análise (egresso da Teoria da
Medida), isto nos possibilita diferenciar sob o sinal de integral para
concluir que

I2(a) = -d/da I1(a).

Isto nos leva a que

I2(a) = Pi/8 (log(a) - 2) a^(-3/2), a >= 1

Não sei se esta fórmula vale em (0, 1). Acho que não.

Fazendo a = 1, obtemos I2(1) = -Pi/4

Mas se o objetivo for só determinar I2(1), parece que usei guindaste pra
levantar uma caixa de fósforos.

Acho que a sugestão do tal Phd (um francês) não era o que eu fiz.

Artur Costa Steiner

Em ter, 28 de ago de 2018 21:34, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>
escreveu:

> x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1)
> t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2
>
> Assim,
> Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 =
> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf)
> log(x)*dx/(1+x^2)^2 =
> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(0...1)
> x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2 =
> Integral(0...1) (log(x)/(1+x^2)^2 + x^2*log(x)/(1+x^2)^2)*dx =
> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) =
> Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx
>
> A primitiva de x^n*log(x) é  x^(n+1)/(n+1)*(log(x) - 1/(n+1)) + C
>
> Logo, Integral(0...1) x^n*log(x)*dx = -1/(n+1)^2 ==>
> Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx =
> -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... =
> -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...)
>
> A série entre parênteses não parece ter soma Pi/4, mas é muito provável
> que eu tenha errado alguma conta.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Tue, Aug 28, 2018 at 4:55 PM Artur Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral
>>
>> Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx
>>
>> Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se
>> considerarmos que (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1) dx = 0.  Este fato não é
>> difícil de mostrar. Parcelando a segunda integral na soma de uma de (-oo a
>> 1] com outra de [1 a oo) e fazendo x = 1/t em uma delas, concluimos que a
>> integral é nula.
>>
>> Mas não vejo como esta informação possa ser utilizada na resolução da
>> 1a.? Não vi o argumento do Phd.
>>
>> Alguém tem alguma sugestão? A resposta é -pi/4.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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