Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = r^ne^(inx).
Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i sen(nx), que é a fórmula de Moivre. Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. Abraços! On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa <mat.mo...@gmail.com> wrote: > Gostaria de ver sua solução. > > Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
