De fato! Obrigado. É certo que não podem existir mais do que 4 potências de 2 com um mesmo número de algarismos. Pois, se, para algum p e algum m, tivermos 10^p < 2^m < 2^(m+4) < 10^(p+1), então teríamos também: 10^(p+1)/10^p > 2^(m+4)/2^m, ou seja, 10 > 16 ==> contradição.
Também não podem existir menos do que 3. Pois, se for 2^(m-1) < 10^p < 2^m < 2^(m+1) < 10^(p+1) < 2^(m+2) então: 2^(m+2)/2^(m-1) > 10^(p+1)/10^p ou 8 > 10. Para termos 4 potências de 2 com o mesmo número de algarismos, é preciso ter: 10^p < N < 8*N < 10^(p+1) ==> N/10^p > 1 e 10^(p+1)/(8N) > 1 ==> N/10^p < 10/8 = 1,25. Ou seja, a menor potência de 2 com (p+1) algarismos deve ser menor do que 1,25*10^p. (1, 2, 4, 8), (1024, 2048, 4096, 8192), etc... Também não é difícil ver que a menor potência de 2 com um dado número de algarismos começa com 1 (se começasse com 2 ou mais, a metade dela também teria o mesmo número de algarismos). []s, Claudio. On Mon, Sep 3, 2018 at 3:03 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: > Boa tarde! > Cláudio, > bela solução! > Mas cabe uma observação 0 <= r < s <4, a restrição é mais forte em 4, pois > 2^4=16 e forçaria a ter mais um dígito. > Furou em 4, mas não carecia verificar. > > Saudações, > PJMS > > Em seg, 3 de set de 2018 às 10:57, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Assista a esse vídeo aqui, lá tem explicação passo a passo: >> >> https://www.youtube.com/watch?v=3sRrcYk7RTw >> >> Em dom, 2 de set de 2018 às 23:58, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Existem no máximo 4 potências consecutivas de 2 com um dado número de >>> algarismos, já que 2^3 < 10 < 2^4. >>> Vamos chamá-las de 2^m, 2^(m+1), 2^(m+2), 2^(m+3). >>> Se duas delas (digamos, 2^(m+r) e 2^(m+s), com 0 <= r < s <= 4) tiverem >>> os mesmos algarismos, então será: >>> 2^(m+r) == 2^(m+s) (mod 9), onde "==" quer dizer "é congruente a". >>> Pra ver isso, basta observar que N == soma dos algarismos de N (mod 9). >>> Assim: >>> 2^r == 2^s (mod 9) ==> >>> 1 == 2^(s-r) (mod 9) ==> >>> Mas s-r só pode ser 1, 2, 3 ou 4 ==> >>> 2^(s-r) == 2, 4, 8, 6 (mod 9), respectivamente. >>> Logo, não existem duas potências distintas de 2 cumprindo a condição >>> mencionada. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> On Sun, Sep 2, 2018 at 10:09 PM marcone augusto araújo borges < >>> marconeborge...@hotmail.com> wrote: >>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
