Muito obrigado, Claudio!
Vou analisar com calma suas contas, mas a ideia parece muito elegante!

Em qua, 12 de set de 2018 11:21, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>
escreveu:

> Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo
> engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1".
> Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma
> 1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n.
> Por exemplo, sabemos que:
> 1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... +
> 1/(n-2) + 1/(n-1)
> (pra ver isso, faça o gráfico)
> Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) +
> 1/n.
> Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que:
> log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==>
> log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==>
> n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==>
> n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1
>
> Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica:
> 100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1
> 61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62.
> E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128
>
> Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não
> há nenhum k (inteiro) no intervalo.
> No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k
> desejado é 125.
>
> De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1,
> pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4.
> Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0.
>
> Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>
> wrote:
>
>> Bom dia!
>> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
>> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
>> que 1?
>>
>> Muito obrigado!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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