Seja A um subconjunto Lebesgue mensurável de R^n e seja x + A = {x + a | a
está em A} a translação de A por x de R^n. Sendo m a medida de Lebesgue,
mostre que a função definida em R^n por f(x) = m(A inter (x + A)) é
contínua.
Uma vez vi uma prova disso, extremamente complicada, cheia de lemas
intermediários, e não me lembro bem. Estou tentando dar uma prova mas ainda
não cheguei lá.
Este teorema pode ser empregado para mostrar que, se m(A) > 0, então A - A
= {a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na origem. É
possível mostrar isto sem saber que f é contínua. Será que, sabendo da
existência da bola, podemos mostrar que f é contínua?
A medida de Lebesgue é translação invariante: Se A é mensurável, então,
para todo x de R^n, x + A também é e m(x + A) = m(A).
Abraços.
Artur Costa Steiner
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
