Mas esse teorema não é óbvio, apesar de não ser difícil de provar.
A minha solução me parece mais natural: ir testando "na mão" até que algum
padrão fique evidente.


On Tue, Jan 22, 2019 at 11:56 AM Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:

> É, o que podemos afirmar é que f tem pelo menos 401 raízes em [-1000,
> 1000].
>
> Uma outra forma de mostrar é com base no seguinte teorema:
>
> Se o gráfico de f é simétrico com relação a dois eixos verticais x = a e x
> = b distintos, então f é periódica e um de seus períodos é 2|b - a|.
>
> Assim, a f do caso é periódica e um de seus períodos é 2(7 - 2) =10.
> Verificamos que 4 e 14 = 4 + 10, além de 0, são raízes. Logo, os números da
> forma a_n = 10n e b_n = 4 + 10n, n inteiro, são raízes.Disso concluímos
> facilmente que, em [-1000, 1000] , há 401 raízes de uma destas formas.
>
> Para provarmos o teorema citado, observamos que, para todo x,
>
> f(a - x) = f(a + x)
> f(b - x) = f(b + x)
>
> Logo  para todo x,
>
> f(x) = f(a + (x - a)) = f(a - (x - a)) = f(2a - x) = f(b + (2a - x - b)) =
> f(b - (2a - x - b)) = f(2(b - a) + x)
>
> Como b - a <> 0, vemos que f é periódica e que 2|b - a| é um de seus
> períodos..
>
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com escreveu:
>
>> 0 =
>> f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4);
>> f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10);
>> f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6)
>> f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20)
>> f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16)
>> f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30)
>> ...
>> Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0.
>>
>> f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) =
>> f(4-10(n+1))
>> Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela
>> hipótese de indução.
>>
>> 0 =
>> f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14).
>> f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10)
>> f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24)
>> f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20)
>> f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34)
>> f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30)
>> ...
>> Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0.
>>
>> Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes:
>> -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes
>> e também:
>> -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes
>>
>> Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes.
>>
>> Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f
>> pode necessariamente ter.
>> Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de
>> outras raízes.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Acho esse interessante.
>>>
>>> Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a
>>>
>>> f(2 - x) = f(2 + x)
>>> f(7 - x) = f(7 + x)
>>>
>>> e f(0) = 0
>>>
>>> Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000]
>>>
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Responder a