Oi, Claudio Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k?
Atenciosamente, Rodrigo de Castro Ângelo Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M > (se M for real, M* = transposta de M). > Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z. > E identificarei números complexos com matrizes 1x1. > > Seja k um autovalor de A. > Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* = > k*X* > X*AX = X*(kX) = kX*X > X*A*X = (k*X*)X = k*X*X > > Somando estas duas equações, obtemos: > X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==> > X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==> > X*IX = 2Re(k)X*X ==> > X*X = 2Re(k)X*X ==> > (1 - 2Re(k))X*X = 0. > > Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2. > > Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2. > Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais ==> > os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser > particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é > 1/4 + b^2 > 0 ==> > det(A) = produto dos autovalores de A > 0. > > []s, > Claudio. > > > > > On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> > wrote: > >> Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns resultados, >> mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver? >> >> *Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.* >> *Prove que detA > 0.* >> >> A^t é a transposta de A. >> >> Muito obrigado! >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
