Thank you 😊 Em sex, 17 de mai de 2019 19:47, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
> Boa noite! > Corrigi de orelhada, devido a paridade e a solução (21,23), aue > encontrara. Quando dispor de um tempo, tentarei compreender. Mas pelo visto > é mais fácil apontar que existe uma infinidade de soluções, do que achá-las > propriamente. Não se gera uma fórmula para as soluções. Se compreendi, pelo > menos, um pouco da explicação. > > Grato, > PJMS > > Em sex, 17 de mai de 2019 19:01, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com > escreveu: > >> Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia >> ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido >> diretamente das solucoes positivas trocando sinais. >> >> Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios >> valores de n. >> >> Por exemplo, para n=2, temos: >> (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) >> Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de >> novo! >> Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: >> y=6a+p=505 e x=y-a=461 >> (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais >> de x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, >> as outras vem por tais trocas de sinal.) >> >> Para n=3: >> (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a >> y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 >> >> Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x >> e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! >> >> (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes >> serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) >> >> As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia >> ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre >> existem)? >> >> ---///--- >> (A) POR QUE gera solucoes? >> >> Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. >> Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, >> mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se >> p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao >> inteiros determinados pela formula >> (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). >> >> Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. >> >> Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . >> (p0-a0.raiz(m))^n =1. >> >> Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa >> definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado >> perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an >> (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). >> >> Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 >> tambem! >> >> ---///--- >> >> Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar >> (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as >> outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao >> "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para >> mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito >> compriiiido... :D >> >> Abraco, Ralph. >> >> On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: >> >>> Boa tarde! >>> Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, >>> com a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? >>> As soluções que achei: >>> (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 >>> (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. >>> >>> Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. >>> >>> Se fosse: >>> y=6a+p >>> x=5a+p >>> (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) >>> >>> Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da >>> equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> >>> Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> >>> escreveu: >>> >>>> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. >>>> >>>> Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o >>>> discriminante tem que ser quadrado perfeito: >>>> >>>> D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já >>>> coloquei o 4) >>>> 30a^2+1=p^2 >>>> p^2-30a^2=1 >>>> >>>> Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem >>>> além das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: >>>> https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf >>>> >>>> Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) >>>> neste caso) e gerar as outras olhando para >>>> (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um >>>> possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). >>>> >>>> Enfim, encontrados p e a, teremos: >>>> y=6a+-2p >>>> x=5a+-2p >>>> >>>> Ou seja, creio haver infinitas soluções! >>>> >>>> Abraço, Ralph. >>>> >>>> On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < >>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >>>> >>>>> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para >>>>> resolver e achar todos os inteiros da equação >>>>> 6x^2-5y^2=1. >>>>> >>>>> >>>>> Obrigado e grande abraço. >>>>> Douglas oliveira >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
