Boa noite! Faltara também a explicação. Seja a = r mod 10 então a^n=(r)^n mod 100 se n é múltiplo de 10. Mas é só usar o binômio de Newton, para (10q+r)^n só sobra o último termo.
Saudações. Em qua, 9 de out de 2019 às 11:09, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > Bom dia! > > Achei um outro modo de resolver, só que ao retornar me apercebi de que > "engolira a classe 6', ao invés de ir na PA(2,4,6,8) segui pela PG (2,4,8) > > Faltou então para o algarismo 6. > > 6^20=2^20.3^20 e ord1003=20 então 2^20= 1 mod 100 então 6=^20=2^20 mod > 100 > Se 3^n= 1 mod100 então 3^n= 1 mod10 > ord103=4 > (3)^n=1 mod100 então né múltiplo de 4. Então n=4k par k>1 inteiro. > (3)^n=(81)^k=(10*8+1)^k > Pelo binômio de Newton, só sobram os dois últimos termos. Os demais terão > 10^m com m>2 que côngruo de 0 mod100 > k.10*8 +1, e portanto o menor k que satisfaz é k=5. Então ord1003=20 > > Com isso completa o que faltara da resolução anterior. > > 2^10=1024=24 mod100 > 2^20=24^2=76 mod100 > 4^20=(2^20)^2=76^2=(-24)^2=576=76 mod100 > 8^20=2^20.4^20=76^2=24 mod100 > 6^20=3^20.2^20=2^20 pois ord1003=20 > > Essa última ficou melhor. > > Saudações, > PJMS > > > Em sáb, 5 de out de 2019 às 08:58, Pedro José <petroc...@gmail.com> > escreveu: > >> Bom dia! >> Esdras, tem como postar a resposta. >> Não consigo ver a^p=a modp, para p primo se encaixando no problema, pois >> 10 não é primo. >> >> Grato! >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em sex, 4 de out de 2019 às 20:20, Esdras Muniz < >> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >> >>> Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat. >>> >>> >>> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> >>> Livre >>> de vírus. www.avast.com >>> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. >>> >>> <#m_3285326544539962876_m_-140568092169550719_m_1063528150960112747_m_-1601668305501320773_m_-5542290881960747167_m_-611650024147786599_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> >>> >>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>> escreveu: >>> >>>> Boa tarde! >>>> Com minhas escusas retificação da solução. >>>> n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100" >>>> (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1" >>>> b^x não se repete e não: "b^x não se repetem" >>>> Sds, >>>> PJMS. >>>> >>>> >>>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>> escreveu: >>>> >>>>> Boa tarde! >>>>> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00". >>>>> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10. >>>>> 2^20=4^10 >>>>> 8^20 = 4^40 >>>>> 4^1= 4 mod10 >>>>> 4^2=6 mod10 >>>>> 4^3= 4 mod10 >>>>> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i) >>>>> Se >>>>> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii) >>>>> >>>>> Então vamos procurar o período de a^n mod100, Não existe a que >>>>> satisfaça a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1 >>>>> Vamos tentar verificar se há repetição do 4. >>>>> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100 >>>>> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve >>>>> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve >>>>> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100 >>>>> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100 >>>>> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100 >>>>> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a) >>>>> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1, >>>>> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para >>>>> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar >>>>> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que >>>>> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução >>>>> única. >>>>> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100 >>>>> 8^20=4^40=4^10=76 mod100 >>>>> 2^20=4^10=76 mod 100. >>>>> >>>>> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6. >>>>> >>>>> Saudações, >>>>> PJMS >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges < >>>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >>>>> >>>>>> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois >>>>>> últimos algarismos de n^20? >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esdras Muniz Mota >>> Mestrando em Matemática >>> Universidade Federal do Ceará >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
