Ou seja, existem m e n inteiros positivos tais que:
8a + 1 = mb
e
8b + 1 = na

De cara, dá pra ver que a e b precisam ser ímpares (caso contrário, não
dividiriam 8b+1 e 8a+1, respectivamente).

Além disso...
b = (8a+1)/m ==>
8(8a+1)/m + 1 = na ==>
64a + 8 + m = mna ==>
a = (m+8)/(mn-64)     (A)

Analogamente, b = (n+8)/(mn-64)   (B)

Isso significa que mn > 64  e que  mn-64 divide m+8 e n+8 ==>
mn - 64 <= m + 8   e   mn - 64 <= n + 8 ==>
64 < mn <= 72 + m   e   64 < mn <= 72 + n ==>
64/m < n < 72/m + 1   e   64/n < m <= 72/n + 1

Agora, m e n não podem ser ambos <= 8, caso contrário seria mn <= 64.

Suponhamos que m > 8. Então  n < 72/m + 1 < 72/8 + 1 = 9 + 1 = 10.
Mas m não pode ser muito grande, pois mn - 64 <= n + 8 < 18 ==>
mn < 82 ==>
m < 82/n <= 82

Ou seja...
Se m > 8, então m < 82 (ou seja, m >= 9 ==> m <= 81).
Neste caso, 64/81 <= 64/m < n < 72/m + 1 <= 72/9 + 1 = 8 + 1 = 9.
Ou seja 1 <= n <= 8.
E sempre mn > 64, ou seja mn >= 65.

Resumindo: se m >= 9  então  m <= 81  e  65/m <= n <= 8.

Analogamente, se n >= 9  então  n <= 81  e  65/n <= m <= 8.

Agora, é só plugar estes valores de m e n nas fórmulas (A) e (B) acima (de
preferência, com um computador) e ver quais resultam em a e b inteiros.

Com uma planilha Excel, eu achei as seguintes 11 soluções:
 a    b
 1    1
 1    3
 1    9
 3    1
 3   25
 9    1
 9   73
13  21
21  13
25   3
73   9

[]s,
Claudio.


On Thu, Apr 4, 2019 at 8:30 PM Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com> wrote:

> O número de pares ordenados  de inteiros positivos (*a, b*) tais que 8*b*
> + 1 é múltiplo de *a* e 8*a* + 1 é múltiplo de *b* é igual a:
>
> R: 11
>
> --
> Daniel
>
>
> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>.
>
> <#m_137718337439888202_m_2719591652256721004_m_5267545371236784792_m_8044354502181798805_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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