Sim, determinante eh algo um pouco "estranho" sim inicialmente, nao eh um
conceito tao natural quanto outros que se apresentam no ensino medio.

Mas dou aqui algumas dicas de como pensar nele inicialmente:

1. UMA ABORDAGEM ALGEBRICA
1a. Caso 2x2.
Ao resolver o sistema linear:
ax+by=A
cx+dy=B
voce obtem **tentativamente**
x=(Ad-Bb)/(ad-bc)
y=(-Ac+Ba)/(ad-bc)

Digo "tentativamente" pois, se ad-bc=0, o que eu escrevi estah errado. Eu
devia ter dito o seguinte:

i) Se ad-bc<>0, entao a unica solucao do sistema eh aquele x e y ali em
cima;
ii) Se ad-bc=0... bom, depende dos outros caras, mas em suma o sistema vai
ser IMPOSSIVEL ou INDETERMINADO.

Em suma, o valor (0 ou nao 0) de ad-bc diz sozinho se o sistema tem uma
unica solucao ou nao.  Compare isso com o b^2-4ac da quadratica, que diz
sozinho quantas raizes a quadratica tem! Da mesma forma que chamamos
DELTA=b^2-4ac e analisamos esse cara para entender melhor a quadratica,
vamos chamar det([a,b;c,d])=ad-bc, uma especie de "discriminante" do
sistema linear... Ok, mas o nome oficial eh DETERMINANTE da MATRIZ
[a,b;c,d].

1b. Caso nxn.
Ao resolver o sistema linear
Mx=b
onde M eh uma matriz nxn, x eh um ****vetor**** (incognita) nx1 e b eh um
vetor (dado) nx1, nota-se que este sistema tem raiz unica quando uma certa
quantidade (que depende apenas de M, nao de b -- surpreendente, nao?) NAO
vale 0. Esta quantidade eh o DETERMINANTE da matriz M, e infelizmente tem
uma expressao feiosa quando n eh grande...

Em suma: ****o determinante de uma matriz M diz se o sistema Mx=b tem
solucao unica ou nao****

(Agora eu teria que convencer voce que sistemas lineares sao relevantes....
Bom, deixa eu dizer que SAO. :D)

---///---
Mas tem gente que acha isso algebrico demais. Vamos tentar algo mais
geometrico!

2. UMA ABORDAGEM GEOMETRICA
2a. Caso 2x2.
Considere um paralelogramos cujos lados sao os vetores v=(a,b) e w=(c,d).
Qual a area deste paralelogramo?

Se voce fizer a conta, voce descobre que a area eh ad-bc (ou o negativo
disto, depende da ordem dos vetores). Puxa, entao talvez seja legal definir
uma especie de "area com sinal" dada por:

AREA COM SINAL = [v,w] = ad-bc

Ou, que tal chamar isto de DETERMINANTE da matriz cujas colunas sao v e w?
Ok, feito!

(O sinal pode ser explicado com a regra da mao direita.... Mas deixa eu
ficar no basicao, acho que voce soh quer o SIGNIFICADO, nao detalhes.)

Em suma, o DETERMINANTE de uma matriz 2x2 eh a AREA (com sinal) do
paralelogramo cujos lados sao equivalentes aos vetores colunas da matriz.

2b. Caso 3x3.
Considere um paralelepipedo P, 3-dimensional, cujos lados sao os vetores
v1, v2 e v3. Vamos DEFINIR o determinante da matriz cujas colunas sao v1,
v2 e v3 como sendo o VOLUME desse paralelepipedo P (com sinal, que depnde
da orientacao de v1/v2/v3). Tem gente que ateh escreve assim:

det(v1,v2,v3) = expressao horrorosa envolvendo as coordenadas dos 3 vetores
= volume (P) (com sinal)

como se o determinante fosse uma funcao de 3 vetores ao inves de ser de uma
matriz...

2n. Caso nxn
Sejam v1, v2, ..., vn vetores com n coordenadas cada. O determinante da
matriz cujas colunas sao v1, v2, ..., vn pode ser DEFINIDO como o volume do
paralelepipedo cujas arestas sao v1, v2, ..., vn respectivamente (com sinal
que depende da orientacao, mas a discussao sobre o que significa
"orientacao" deixo para depois; com certeza, o volume eh o MODULO desse
determinante).

Ficou um pouco mais natural assim? Dah ateh para enxergar algumas das
propriedades basicas pensando assim. Por exemplo, se dois dos vetores forem
paralelos, o seu paralelepipedo fica "achatado" e portanto o volume eh 0 --
ou seja, se duas das colunas forem multiplas uma da outra, o determinante
eh 0.

Abraco, Ralph.

On Fri, Mar 13, 2020 at 11:30 AM Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> wrote:

> Olá, pessoal!
> Tudo bem?
> Há bastante tempo eu venho fazendo pesquisas sobre o significado do
> determinante de uma matriz.
> Livros, professores, internet...
> Não adianta...
> Parece que o determinante de uma matriz é algo nebuloso...
> E o cálculo de um determinante é mais misterioso ainda...
> Parece maluquice.
> Alguém já leu ou ouviu algo interessante sobre isso?
> Muito obrigado!
> Abraços!
> Luiz
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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