Na universidade é que eu vim aprender de verdade. Ralph, perdão, mas não li seu 
e-mail. Há muito tempo não estudo Álgebra Linear.


  *   O determinante é um número que representa cada matriz.
  *   O determinante da matriz identidade é 1.
  *   Caso a matriz seja diferente da identidade, "adote" o determinante dela 
como 1.
  *   Escalone a matriz, de forma completa, que deseja descobrir o 
determinante, nada acontecerá quando forem somadas as (linhas e colunas).
  *   Se, durante o escalonamento, você multiplicar por qualquer (linha\coluna) 
por um número real, o determinante será multiplicado pelo inverso desse número. 
Só salientando, para não haver confusão, caso você divida uma linha/coluna por 
algum número real (e diferente de 0), você deve multiplicar o determinante pelo 
mesmo número.

Obs.: Estudei AL em 2009, se alguém lembrar de algum ponto que eu não abordei, 
favor responder esse e-mail, ao grupo todo.


Atenciosamente,

Maikel Andril Marcelino
Assistente de Aluno
Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP
Instituto Federal do Rio Grande do Norte
Campus São Paulo do Potengi

(84) 9-9149-8991 (Contato)
(84) 8851-3451 (WhatsApp)
________________________________
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Luiz 
Antonio Rodrigues <rodrigue...@gmail.com>
Enviado: sexta-feira, 13 de março de 2020 18:15
Para: OBM-L
Assunto: Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz

Olá, Ralph!
Tudo bem?
Eu achei fantástica esta abordagem!
Sim, ficou mais natural assim!
E tudo ficou muito claro.
Nunca havia pensado desta forma.
Muito obrigado!
Abraços!
Luiz


Em sex, 13 de mar de 2020 5:53 PM, Ralph Teixeira 
<ralp...@gmail.com<mailto:ralp...@gmail.com>> escreveu:
Sim, determinante eh algo um pouco "estranho" sim inicialmente, nao eh um 
conceito tao natural quanto outros que se apresentam no ensino medio.

Mas dou aqui algumas dicas de como pensar nele inicialmente:

1. UMA ABORDAGEM ALGEBRICA
1a. Caso 2x2.
Ao resolver o sistema linear:
ax+by=A
cx+dy=B
voce obtem **tentativamente**
x=(Ad-Bb)/(ad-bc)
y=(-Ac+Ba)/(ad-bc)

Digo "tentativamente" pois, se ad-bc=0, o que eu escrevi estah errado. Eu devia 
ter dito o seguinte:

i) Se ad-bc<>0, entao a unica solucao do sistema eh aquele x e y ali em cima;
ii) Se ad-bc=0... bom, depende dos outros caras, mas em suma o sistema vai ser 
IMPOSSIVEL ou INDETERMINADO.

Em suma, o valor (0 ou nao 0) de ad-bc diz sozinho se o sistema tem uma unica 
solucao ou nao.  Compare isso com o b^2-4ac da quadratica, que diz sozinho 
quantas raizes a quadratica tem! Da mesma forma que chamamos DELTA=b^2-4ac e 
analisamos esse cara para entender melhor a quadratica, vamos chamar 
det([a,b;c,d])=ad-bc, uma especie de "discriminante" do sistema linear... Ok, 
mas o nome oficial eh DETERMINANTE da MATRIZ [a,b;c,d].

1b. Caso nxn.
Ao resolver o sistema linear
Mx=b
onde M eh uma matriz nxn, x eh um ****vetor**** (incognita) nx1 e b eh um vetor 
(dado) nx1, nota-se que este sistema tem raiz unica quando uma certa quantidade 
(que depende apenas de M, nao de b -- surpreendente, nao?) NAO vale 0. Esta 
quantidade eh o DETERMINANTE da matriz M, e infelizmente tem uma expressao 
feiosa quando n eh grande...

Em suma: ****o determinante de uma matriz M diz se o sistema Mx=b tem solucao 
unica ou nao****

(Agora eu teria que convencer voce que sistemas lineares sao relevantes.... 
Bom, deixa eu dizer que SAO. :D)

---///---
Mas tem gente que acha isso algebrico demais. Vamos tentar algo mais geometrico!

2. UMA ABORDAGEM GEOMETRICA
2a. Caso 2x2.
Considere um paralelogramos cujos lados sao os vetores v=(a,b) e w=(c,d). Qual 
a area deste paralelogramo?

Se voce fizer a conta, voce descobre que a area eh ad-bc (ou o negativo disto, 
depende da ordem dos vetores). Puxa, entao talvez seja legal definir uma 
especie de "area com sinal" dada por:

AREA COM SINAL = [v,w] = ad-bc

Ou, que tal chamar isto de DETERMINANTE da matriz cujas colunas sao v e w? Ok, 
feito!

(O sinal pode ser explicado com a regra da mao direita.... Mas deixa eu ficar 
no basicao, acho que voce soh quer o SIGNIFICADO, nao detalhes.)

Em suma, o DETERMINANTE de uma matriz 2x2 eh a AREA (com sinal) do 
paralelogramo cujos lados sao equivalentes aos vetores colunas da matriz.

2b. Caso 3x3.
Considere um paralelepipedo P, 3-dimensional, cujos lados sao os vetores v1, v2 
e v3. Vamos DEFINIR o determinante da matriz cujas colunas sao v1, v2 e v3 como 
sendo o VOLUME desse paralelepipedo P (com sinal, que depnde da orientacao de 
v1/v2/v3). Tem gente que ateh escreve assim:

det(v1,v2,v3) = expressao horrorosa envolvendo as coordenadas dos 3 vetores = 
volume (P) (com sinal)

como se o determinante fosse uma funcao de 3 vetores ao inves de ser de uma 
matriz...

2n. Caso nxn
Sejam v1, v2, ..., vn vetores com n coordenadas cada. O determinante da matriz 
cujas colunas sao v1, v2, ..., vn pode ser DEFINIDO como o volume do 
paralelepipedo cujas arestas sao v1, v2, ..., vn respectivamente (com sinal que 
depende da orientacao, mas a discussao sobre o que significa "orientacao" deixo 
para depois; com certeza, o volume eh o MODULO desse determinante).

Ficou um pouco mais natural assim? Dah ateh para enxergar algumas das 
propriedades basicas pensando assim. Por exemplo, se dois dos vetores forem 
paralelos, o seu paralelepipedo fica "achatado" e portanto o volume eh 0 -- ou 
seja, se duas das colunas forem multiplas uma da outra, o determinante eh 0.

Abraco, Ralph.

On Fri, Mar 13, 2020 at 11:30 AM Luiz Antonio Rodrigues 
<rodrigue...@gmail.com<mailto:rodrigue...@gmail.com>> wrote:
Olá, pessoal!
Tudo bem?
Há bastante tempo eu venho fazendo pesquisas sobre o significado do 
determinante de uma matriz.
Livros, professores, internet...
Não adianta...
Parece que o determinante de uma matriz é algo nebuloso...
E o cálculo de um determinante é mais misterioso ainda...
Parece maluquice.
Alguém já leu ou ouviu algo interessante sobre isso?
Muito obrigado!
Abraços!
Luiz

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