Boa tarde!
Nem carece método numérico.
Para n=1 ou n=0 ou n=2 temos que qualquer inteiro divide o polinômio
p(n)=(n-2)^2*(n-1)^2*n^2*(n+1)^2*(4n^2-4n-9)

p(3)=8640
p(4)=561600 então (p(3),p(4))=8640=2^6*3^3*5.
Seja D o maior inteiro que divide p(n) para todo n inteiro, D<=8640
Vamos pegar as classes de equivalência mod 4. Seja k um inteiro.
Para 4k temos que n^2= 16k^2 e (n-2) é par logo (n-2)^2= 4s^2 com s
inteiro. Logo 2^6 divide p(n) para qualquer n =4k.
4k+1. Pegando os fatores (4n-1)^2 e (4n+1)^2, teremos que 2^6 |p(n) para
qualquer n=4k+1.
4k+2. Pegando (n-2)^2 e n^2, teremos que 2^6|p(n) para qualquer n=4k+2
4k+3, pegando os mesmos fatores de 4k+1, 2^6|p(n) para n=4k+3.
Portanto 2^6|p(n) para qualquer inteiro
Agora classes de equivalência mod 3
3k, pegando n^2, 3^2|p(n) para n=3k
3k+1, pegando (n-1)^2; 3^2| p(n), n=3k+1
3k+2, pegando (n-2)^2, 3^2| p(n), n=3k+2
Daí 3^2|p(n) para qualquer n inteiro.
Classes de equivalência mod 5.
5k, n^2 , 5 |p(n), n =5
5k +1, (n-1)^2, 5|p(n), n=5k+1
5k+2, (n-2)^2, 5|p(n), n=5k+2
5k+3, (4n^2-4n-9)=(100k^2-100k+15)
5|p(n), n=5k+3
5k+4, (n+1)^2, 5|p(n) , n=5k+4.
Então 5|p(n) para todo inteiro
D>=2^6*3^2×*5
Mas D<=2^6*3^2*5, logo D=8640

Saudações,
PJMS

Em sáb, 21 de mar de 2020 04:39, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia!
> Falta de novo, em seu questionamento, informar que n é inteiro ou natural
> e colocar a condição para qualquer valor de n. Chamando o polinômio de p(n)
> Para n=0, 1 ou 2, qualquer inteiro divide.
> Faria mdc(p(3),p(4))= A1
> Se der "pequeno", com poucos fatores primos e expoentes pequenos. Paro em
> A1, se não.
> (p(5),A1)=A2 uso o mesmo critério de parar
> (p(6),A2)=A3 até parar em:
> Ai=(p(i+3),A(i-1)).
> Aí faço o polinômio módfi^xi, onde fi é um fator primo de Aí e xi seu
> expoente. verifico se para cada resíduon= 1, 2...fi^n-1 se P(n)=0 mod fi^si
> Se falhar diminuto xi em 1 e repito o teste para todos resíduos de
> fi^(xi-1)-1 até um dado xki em que todos os p(resíduos) foram equivalente a
> zero módulo fi^xki ou quando fizer para o expoente 1  e não zerar para
> todos resíduos de fi, quando o fator será descartado.
> Depois repito para cada fator primo f e seu respectivo expoente.
> Ao final D = Produtório de cada fator fi elevado ao expoente xki que zerou
> p(n) mod fi^xki para todos os resíduos, descartando os fí em que xji chegou
> a 1 e não atendeu ou considerando nesse caso xki=0.
>
> Mas resolveria por método numérico.
> Depois poste sua solução.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
>
> Em sex, 20 de mar de 2020 12:42, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Qual o maior inteiro que divide (n - 2)^2 (n - 1)^2 n^2 (n + 1)^2 (4 n^2
>> - 4 n - 9))?
>> Eu sei resolver esse problema com meu algoritmo, porém gostaria de saber
>> como os colegas o resolveriam.
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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