Bom dia!
Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.
128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 2^7| 49^{n} + 81^{n}=2 mod2^7
x= a + b , a= 49^n e b=81^n
a= (64-15)^n = n(-1)^n*n*64*(15)^(n-1) + (-1)^n*15^n mod2^7; pois, os
demais termos do binômio de Newton terão o fator (2^6)^m com m>1 que é
côngruo 0 mod2^7.
b= (64+17)^n = n*64*17^(n-1) + 17^n mod2^7 pelo mesmo motivo anterior.
a+b = n*64(17^n-1 +(-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n =
(-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n mod2^; pois a primeira parcela é
côngrua a 0 mod2^7; já que o termo entre parêntesis é par.
(16+1)^n= n*16+1 mod2^7 ,pois, (2^4)^m =0 mod2^7 para m>1
(-1)^n*(16-1)= (-1)^n*[(-1)^(n-1)*n*16+(-1)^n]=-16n +1
então x = a+b= 2 mod2^7 ==> 2^7 | a+b-2
Saudações,
PJMS
Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 14:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples
> de se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários
> dessa publicação? O problema é o seguinte:
> Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.Se possível não
> use indução, pois eu já estou usando indução.
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
