Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução. Douglas Oliveira
Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) * > x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus > no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos. > z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z > Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0 > Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes > por -1 não altera as raízes). > f(-1) = 4*raiz(2) > 0 > f(0) = -1 < 0 > f(raiz(2)) = -5 < 0 > f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma > entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2. > Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z > < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que > estas são as únicas raízes reais de f. > Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no > sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta > Im(z) = -Re(z). > Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva, > isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o > quadrante. > > Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a > segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no > 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0. > Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0. > > Chame as outras duas raízes da equação original de a e b. > Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um > ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1) > Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo > imaginário negativo > A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números > complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) = > -Re(z) (2) > (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R > > (2) também implica que, sobre a e b: > OU ambos pertencem ao 2o quadrante > OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante > OU ambos pertencem ao 4o quadrante. > > De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que > a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso. > > Resta eliminar a 1a alternativa. > Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante. > > Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 > > 2*R^2 > E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2 > > Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==> > ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==> > -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==> > 1/q - q + 2p^2 = 0 > 1/q - q + 2R^2 < 0 ==> > 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem > ao 2o quadrante. > > Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma > pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da >> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e >> percebi que existe uma em cada quadrante. >> >> Mas não consigo achar uma saída. >> >> Obrigado. >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.