Bom dia! Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 1<a<b<c, com a,b,c Naturais.
Confesso que desta feita gastei mais tempo que da primeira vez. Curioso, da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu resolvera, aí nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não encontrei nada. Mas no fim, recordei o que havia feito. (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro. vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 e c=a+2 [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2<b<5 e b par, temos b=4. Como k é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução. a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3<b<7 e b ímpar. temos b=5; kmax para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro. 1<k<=2 ==> k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova solução. (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) - 1 logo divide a diferença: (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) Como a=2 ou a=3 Se a=2. e w>=2 Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. Se a=3 Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | c+1 (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da IMO e suas resoluções? Grato! Saudações, PJMS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
