Achei essa prova bem imaginativa.
Para n>= 2, temos n^(1/n) > 1. n^(1/n) pode ser escrito como
n^(1/n) = ((raiz(n) . raiz(n) . 1 .... 1)^(1/n)
onde o 1 aparece n - 2 vezes. Logo, n^(1/n) é a média geométrica dos
números {raiz(n), raiz(n), 1, . .1}.
Pela desigualdade MA >= MG temos, para n>= 2, que
1 < n^(1/n) < (raiz(n) + raiz(n) + 1.... +1)/n= (2 raiz(n) + (n - 2))/n
1 < n^(1/n) < 2/raiz(n) + 1 - 2/n
Como na desigualdade acima o membro da direita tende a 1 quando n vai para
oo, segue-se por confronto que
lim n ---> oo n^(1/n) = 1
Artur
