Obrigado pela dica! Honestamente creio que existe um erro nesse problema. Fazendo alguns casos na mão é possivel perceber que isso sempre resulta em 8n + 7. Essa é a prova: "Provar que ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³ < 8n + 8. Abrindo a potência, temos: 2n + 2 + 3 * ( (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)) < 8n + 8 (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3) < 2n + 2 Porém temos que (n² ( n + 2))^(1/3) < n + 2/3 , e (n(n + 2)²)^(1/3) < n + 4/3 ( eu testei elevando ambos os lados ao cubo deu certo) . Isso confirma a inequação inicial. Agora se 8n + 7 < ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³ o exercício acaba. De fato, trabalhando a expressão: (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3) > 2n + 5/3 Mas novamente, tem se que (n² ( n + 2))^(1/3) > n + 1/2 e (n(n + 2)²)^(1/3) > n + 7/6 para qualquer n > 1 ( no caso n =1 basta testar na mão). E como 1/2 + 7/6 = 5/3 , tem se que ela é verdade, logo: 8n + 7 < ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³ < 8n + 8 ==> [ ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³ ] = 8n + 7" Eu estranhei bastante porque nunca tinha acontecido de um exercicio do POTI estar errado. obs: Se a minha solução estiver errada de alguma forma, adoraria saber!
On Wed, Feb 3, 2021 at 12:42 PM Ralph Costa Teixeira <ralp...@gmail.com> wrote: > Sem tempo agora, mas olhando por alto eu aproximaria o que estah dentro do > () por 2(n+1)^(1/3), o que levaria imediatamente a 8(n+1). Serah que a > parte inteira daquela coisa eh 8(n+1)? > > Entao eu tentaria abrir os cubos, subtrair 8(n+1), e mostrar que o que > sobra eh menor que 1. > > Serah que funciona? > > On Wed, Feb 3, 2021 at 10:03 AM joao pedro b menezes < > joaopedrobmene...@gmail.com> wrote: > >> Olá, estava tentando fazer esta questão: >> Prove que [ ( n^(1/3) + (n + 2)^(1/3) )³] é divisível por 8. >> obs: não tinha a tecla de função parte inteira, por isso escolhi [ ] >> Se alguém tiver alguma dica ou souber como resolver, ajudaria bastante. >> >
