> > Se a, b e c são positivos e a^2+b^2+c^2 = 1, qual o valor máximo de > (1-a)(1-b)(1-c)? > >> Desde já agradeço >> > Podemos usar multiplicadores de Lagrange. Seja
f(a,b,c,L) = (1-a)(1-b)(1-c) -L(a^2 + b^2 + c^2 - 1) Tomando as derivadas parciais de f com relação a a, b, c e L e igualando a 0, obtemos 2a = L(1- b)(1 - c) 2b= L(1- a)(1 - c) 2c = L(1- a)(1 -c) a^2+b^2+c^2 = 1 Se L <> 0 e se nenhuma variável for 1, obtemos a/(1 - b) = b/(1 - a), sendo as outras 2 equações permutações circulares da 1a. Segue-se que a - a^2 = b - b^2 a - b = (a - b)(a + b) ==> a + b = 1. Considerando as outras 2 equações chegamos a a = b = c = raiz(3)/3. Isto leva a que a que (1 - a)(1-b)(1- c) = (1 - raiz(3)/3)^3 Se L = 0 as equações conduzem às ternas (1,0,0), (0,1,0) e a (0, 0, 1) para as quais (1 - a)(1-b)(1- c) = 0 < (1 - raiz(3)/3)^3 Como se trata de função contínua em conjunto compacto, as ternas acima dão o mínimo absoluto e (raiz(3)/3,raiz(3)/3), raiz(3)/3) dá o máximo absoluto no valor já citado Nesse problemas geralmente há tambén uma solução baseada em desugualdades como MA, MG, etc Artur Km -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
