Se n não é divisível por 2 e nem por 5, então 1/n = 0,a1a2...ak a1a2...ak a1... (dízima periódica simples de período k) Daí (10^k)*n - n = a1a2...ak ==> (99...9)*n é inteiro (onde há k algarismos 9) ==> n é fator de 99...9 = 9*(11...1). Mas n é primo com 3 ==> n | 11...1
Pra segunda parte, a ideia é tentar ver porque é verdade com exemplos concretos. Por exemplo, 1/7: 10*1 = 1*7 + 3 10*3 = 4*7 + 2 10*2 = 2*7 + 6 10*6 = 8*7 + 4 10*4 = 5*7 + 5 10*5 = 7*7 + 1 10*1 = 1*7 + 3 (e as equações se repetem a partir daqui) 1/13: 10*1 = 0*13 + 10 10*10 = 7*13 + 9 10*9 = 6*13 + 12 10*12 = 9*13 + 3 10*3 = 2*13 + 4 10*4 = 3*13 + 1 10*1 = 0*13 + 10 (idem) Assim, no caso geral, pra calcular a representação de 1/n, as k primeiras divisões sucessivas resultam em: 10*1 = a1*n + r1 10*r1 = a2*n + r2 10*r2 = a3*n + r3 ... 10*r(k-1) = ak*n + rk Como n é primo com 2 e 5, 1/n será uma dízima periódica simples, digamos de período k. Isso significa que rk, o resto da k-ésima divisão, será necessariamente igual a 1, já que os dividendos (os algarismos aj que formam o período) irão se repetir a partir da (k+1)-ésima equação. Ou seja, a(k+1) = a1 e, portanto, r(k+1) = r1. Somando as k equações, obtemos: 10*(1+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk). Como rk = 1, isso fica: 10*(rk+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk) ==> 9*(rk+r2+...+r(k-1)) = (a1+a2+a3+...+ak)*n Como n é primo com 3 (e, portanto, com 9), concluímos que n divide r1+r2+...+rk. On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca < [email protected]> wrote: > Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema. > *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e > suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator > do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na > divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n. > Comentário: > Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 111111 ( k=6 > 1's). > Essa parte consegui provar. > Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são > {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar) > Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração > dos dois fatos. > Agradeço qualquer ajuda. > [[ ]]'s > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
