se ajuda voces, achar primos em intervalos [a,a+b] dependem fortemente no
tamanho de a,b. mais especificamente, vc com certeza vai ter exito se a =
O(b^{3/2-epsilon}), e com certeza nao vai ter exito se b = O(a^{1/2})
isso se deve ao fato de que é provado que existe um primo entre n³ e
(n+1)³, mas é um problema em aberto que existe um primo entre n² e (n+1)²
nao pensei no problema, mas basicamente se o tamanho do seu intervalo é
(n+1)², e ele o extremo (menor) do intervalo cresce com mais que ordem
cúbica, vai ser uma tarefa dificil, quase impossivel de provar
cai na classe de coisas que sao verdadeiras mas ninguem vai provar. se vcs
quiserem uma intuição pra pelo menos saber se o problema é verdadeiro ou
nao, como a densidade dos primos é n/logn, e (n/logn)' tem ordem 1/logn, vc
espera que o proximo primo apareça em O(logn), ou seja, sendo p um primo
grande, é esperado que o proximo primo nao passe de p+clogp. Dai vcs
comparam. esse clogp vai ser o (n+1)², desde que o extremo do intervalo
cresça menos do que e^{n²}, a resposta deve ser sim. Se o extremo do
intervalo cresce MAIS do que e^{n²}, o problema deve ser falso
Em seg., 21 de abr. de 2025, 12:35, Eric Campos Bastos Guedes <
[email protected]> escreveu:
> Olá Anderson.
>
> Respondendo a sua pergunta, sim, eu criei esta conjectura, que tenho quase
> certeza que é verdadeira. Vamos resolver essa proposição (é muita
> arrogância chamar de Teorema) juntos nós aqui da lista e podemos, assim,
> fazer uma pequena contribuição à Matemática que será atribuída á lista
> [obm-l] e às pessoas que participarem!
>
> Anderson, o intervalo [A_n, B_n] que você citou, seria o intervalo [P,
> P+1], ou errei nas contas? Então temos que garantir que existe pelo menos
> um primo, num intervalo de comprimento (n + 1)^2. Mas qual a densidade de
> primos próximo a esse intervalo? Pergunte ao DeepSeek sobre essas questões
> e isso te ajudará muito.
>
> Em dom., 20 de abr. de 2025, 22:55, Anderson Torres <
> [email protected]> escreveu:
>
>> Em sáb., 19 de abr. de 2025 às 19:31, Anderson Torres
>> <[email protected]> escreveu:
>> >
>> > Em sex., 18 de abr. de 2025 às 22:44, Eric Campos Bastos Guedes
>> > <[email protected]> escreveu:
>> > >
>> > > Desafio a demonstrarem o seguinte:
>> > >
>> > > Teorema: existe um real c aproximadamente igual a 2.811321611513 tal
>> que o piso (menor inteiro maior ou igual a) do produto de c pelo quadrado
>> do fatorial de n (que vou escrever como f(n) = [c(n!)^2]) é um número primo
>> para todo natural n = 1, 2, 3, ....
>> > >
>> > > Para n = 1, f(1) = 2 (primo)
>> > > Para n = 2, f(2) = 11 (primo)
>> > > Para n = 3, f(3) = 101 (primo)
>> > > Para n = 4, f(4) = 1619 (primo)
>> > > Para n = 5, f(5) = 40483 (primo) etc
>> > >
>> > > Onde essa lista pode ser estendida indefinidamente, sempre produzindo
>> números primos, sendo que f(n) é o menor inteiro maior ou igual ao produto
>> do real c pelo quadrado do fatorial de n.
>> > >
>> >
>> > A minha ideia é mostrar tal C como um elemento de uma sequência de
>> > intervalos encaixados.
>> >
>> > Começamos com [c] = 2, ou 2<c<3.
>> >
>> > Com isso, temos (2!)^2=4, e
>> > 2<c<3
>> > 8<4c<12
>> >
>> > Podemos escolher [4c]=11.
>> >
>> > Então 11<(2!)^2 c<12.
>> >
>> > Multiplicando por 3^2, temos
>> >
>> > 99 < (3!)^2 c < 108
>> >
>> > Podemos escolher [(3!)^2 c] = 101
>> >
>> > 101 < (3!)^2 c < 102
>> >
>> > 4^2 * 101 < (4!)^2 c < 4^2 * 102
>> >
>> > 1616 < (4!)^2 c < 1632
>> >
>> > Podemos escolher [(4!)^2 c] = 1619
>> >
>> > 1619 < (4!)^2 c < 1620
>> >
>> > 25*1619 < (5!)^2 c < 25*1620
>> >
>> > 40475 < (5!)^2 c < 40500
>> >
>> > Podemos escolher [(5!)^2 c] = 40483
>> >
>> > 40483 < (5!)^2 c < 40484
>> >
>> > 36 * 40483 < (6!)^2 c < 36 * 40484
>> >
>> > 1457388 < (6!)^2 c < 1457424
>> >
>> > Podemos escolher [(6!)^2 c] = 1457389 (testado via
>> > https://www.dcode.fr/primality-test)
>> >
>> > Até aqui, obtivemos 2.81132137345679012345 < c < 2.81132330246913580246
>> >
>> > A ideia é: dado o intervalo [A_n, B_n] com A_n < (n!)^2 * c < B_n,
>> > precisamos garantir que [A_n*(n+1)^2, B_n*(n+1)^2] também contenha um
>> > primo dentro.
>> >
>>
>> Complementando meu próprio e-mail, eu escreveria este problema da
>> forma a seguir:
>>
>> Construa uma sequência f(1), f(2), . . . da seguinte maneira:
>>
>> - f(1) = 2
>> - para todo N>1, seja P o menor primo maior que (N+1)^2 * f(N);
>> - Se P > (N+1)^2 * (f(N)+1), então f(N+1) não existe e a sequência é
>> finita
>> - Se P < (N+1)^2 * (f(N)+1), então f(N+1) = P (e ainda não sabemos
>> se a sequência é finita ou não).
>>
>> O problema se resume a saber se a sequência é ou não finita.
>>
>> P.S.: joguei na OEIS e nada foi retornado. Você inventou esse problema?
>>
>> > Infelizmente eu não conheço boas estimativas para primos em
>> intervalos...
>> >
>> > >
>> > > --
>> > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =========================================================================
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
