From: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
To: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
Date: Thursday, March 02, 2000 20:34
Subject: Re: Dua sama dengan Satu ? Memang Betul Kok ! <Seri II>
#####Hallo Theo
*****Pada awal mail anda, kita memulai pembicaraan dengan contoh 2=1. Nah
contoh itu mempunyai maksud tertentu sebab contoh itu keluar di salah satu
buku yang berbicara tentang aljabar.
#####Di beberapa mailing list posting di atas cukup menimbulkan diskusi.
Saya kirimkan hasil diskusinya dalam bentuk attachment.
Adanya diskusi ini menyadarkan saya bahwa kita perlu rajin mencari
polemik yang terkandung dalam persoalan sederhana tentang Matematika serta
menyangkut mayoritas manusia.
*****Tetapi di perpustakaan pusat ITB masih ada saya kira. Intinya adalah
menunjukan bahwa pembagian dengan nol itu tidak diperkenankan karena itu
akan merusak seluruh tatanan dalam grup bilangan real misalkan dengan
operasi perkalian.
#####Baru kali saya mendengar pernyataan seperti ini dari kalangan Civitas
Matematika.
*****Ini adalah harga yang mahal untuk dibayar karena kerusakannya membuat
kita perlu menata ulang seluruhnya. Saya memberikan contoh lagi, dari sudut
pandang aljabar bahwa pernyataan 2=1 dengan operasi perkalian dan
penjumlahan klasik, berakibat bahwa semua bilangan adalah nol. Nah ini
adalah konsekuensi-konsekuensi negatif dari 2=1.
#####Apakah anda akan mempunyai usulan tentang itu pada Konprensi Matematika
Nasional X pada bulan Juli 2000 nanti? Saya berharap event ini memberikan
resonansi secara nasional meskipun tidak harus seperti resonansinya kongres
parpol.
Saya hanya baru bisa membayangkan secara tipis tentang konsekwensi2
negatif itu.
*****Kemudian anda mempropose mengenai perkalian dengan bilangan tak hingga.
Saya kembali menolak untuk membiarkan siswa berpikir demikian. Bayangkan
kerusakan yang terjadi karenanya. Anda menawarkan suatu cara berpikir yang
menarik, yaitu melihat kelakuan 2/(1/n) dan kemudian menyimpulkan bahwa 2/0
haruslah tak hingga.
#####Kalau saja ini problem nasional tentu bisa kita rekomendasikan kepada
lembaga pengembangan bahasa sampai pemerintah. Tetapi ini kan problem
global. Sama halnya dengan malah Y2K kemarin ini. Tetapi jalan tengah harus
tetap dilakukan.
*****Saya memberikan argumentasi (anda tidak menanggapi ini) bahwa 2/(-1/n)
akan memberikan suatu hasil yang berbeda. Ini memperlihatkan betapa
lemahnya proposisi untuk mengijinkan pembagian dengan nol.
#####Menurut saya sementara, 2/(-1/n) itu merupakan mekanisme operasi simbol
dari imajinasi kita sendiri untuk n sama dengan tidak terhingga. Tetapi
ketika dikompromikan terhadap persoalan terhingga ternyata menghasilkan
konflik aksioma. Mendingan bila diketahui latar belakang sampai timbulnya
konflik tersebut. Bagaimana kalau tidak?
*****Sampai sekarang saya masih tidak melihat apa dampak positifnya dari
pengajaran ini.
#####Sebenarnya ada sih dampak positifnya kalau saja diajarkan dengan
berirama. Kalau itu belum dipahami lalu muncul materi lain ... jelas itu
akan terus terbawa dalam pelajaran materi selanjutnya itu. Akhirnya
sedikit-banyak menjadi beban psikologis kalau kebetulan terdidik terus
ngotot untuk memikirkannya.
*****Nah, yang terpenting adalah jangan dimatikan ketika si anak mengajukan
hal seperti itu. kita harus encourage dia untuk terus kreatif seperti itu.
Di lain pihak, kita tidak boleh membiarkan kesalahan konsep itu ada. Ketika
saya mengajar matematika di SMA, masih banyak anak yang yakin bahwa 1/0 =
tak hingga, dan sebalik- nya. lalu 0/0 = tak tentu. Ini tidak benar.
#####Memang mereka meyakini itu dengan mengatasnamakan "masuk akal". Padahal
"masuk akal dalam ruang lingkup permasalahan tertentu" bisa dibantah oleh
"masuk akal dalam ruang lingkup sejumlah permasalahan yang lebih luas".
*****Tetapi kita berdua sepakat bahwa kebenaran itu merupakan hal yang tidak
merupakan hal utama dalam matematika. Selama itu bisa diturunkan dengan rapi
dan proseduralnya tepat, matematika bersedia menerima itu sebagai kebenaran.
#####Tentu banyak dari kita juga sepakat bahwa penurunan secara rapih dan
prosedural itu akan terus berproses.
*****pertanyaannya. Kapan siswa boleh mengenal hal ini? Setelah dia
mengetahui yang normal tentunya. Kalau dia sudah mengetahui yang normal,
maka yang tidak normal bisa mulai dia garap, ya khan?
#####Bagaimana ya? Tetapi ya antara yang normal dan yang nggak normal, dalam
artian, mana yang dulu dan mana yang kemudian, pada pikiran orang ya susah
membuat aturannya.
*****Ini mengenai matematika dan fenomena alam: Dalam salah satu bukunya,
Einstein pernah mengatakan,"I don't believe that up there, God plays dice."
Ini untuk mengcounter fenomena yang dinamakan stokhastik. Einstein percaya
bahwa segala yang random itu tidak ada. Ada suatu persamaan matematika yang
deterministik yang bisa mendescribe phenomena alam. Mungkin Einstein benar
.. mungkin.
##### Einstein itu seperti anak kecil yang anak sudah memahami "a + a = ....
" secara tuntas,
detail, dan dalam. Maka itu dia akan bisa memprediksi apa yang terjadi pada
puluhan tahun kemudian kemudian bila ditemukan "komputer terbang", yaitu "1
komputer terbang + 1 komputer terbang = 2 komputer terbang".
Walaupun dia belum mengenal yang namanya "komputer terbang", tetapi
secara logika, kita kan bisa mengatakan bahwa aplikasi "a + a = ..." yang
digunakan si anak itu bisa dipertanggungjawabkan. Rasanya kita pun bisa
mempercayainya 100 persen. Kenapa ? Karena kita pun bisa memahami "a + a =
..." secara tuntas, dalam, dan detail.
Hanya saja substansial aplikasi matematika dari si anak sangat
sederhana. Sedangkan yang digunakan Einstein sangat komplek.
Mungkin saja banyak pakar Fisika yang mengabaikan akan teori Einstein
tersebut pada saat itu karena tingkat ketuntasan, kedetailan, dan kedalaman
mereka seperti dalam memahami "gravitasi" dan "cahaya" rata-rata masih di
bawah Einstein. Sehingga ada faktor "x" yang memungkinkannya mereka belum
bisa mempercayainya 100 persen.
*****Kalau ia benar berarti ada persamaan yang bisa menentukan apa yang
keluar kalau kita melemparkan dadu jika kemiringan tangan kita diberikan,
besarnya tenaga diketahui, gesekan denga udara diketahui denga exact, dan
sejumlah parameter lain. Salah satu indikasi mengapa Einstein mungkin benar
adalah, adanya Chaos.
#####Sama dengan sepakbola. Kalau kita menekan bola yang kelenturannya a,
dengan sudut x ke arah z, dengan gaya y, di mana kemiringan kaki adalah w,
maka akan masuklah bola itu ke gawang lawan. Begitu nggak analoginya ?
Mengapa bisa masuk? Ya karena adanya sebab-akibat yang memungkinkannya ke
sana.
*****Dalam beberapa sistem yang sangat sederhana seperti system Lorenz
(1960-an saya lupa) diketemukan Chaos. Apa itu Chaos? Suatu fenomena
bagaimana output dari suatu sistem begitu random dan unpredictable. Cahos
juga muncul di udara seperti turbulensi. nah, sistem yang Lorenz pakai itu
detrministik. Semua koefisiennya diketahui dengan tepat dan bukan
kira-kira, atau bahkan probabilistik. Semuanya angka. tetapi outputnya
adalah
random. Increadible!
#####Probabilistik itu muncul karena kepasrahan manusia menghadapi fenomena
alam. Sehingga dilakukan upaya pendekatan antara yang diputuskan dengan
kenyataan. Kita begitu yakin mengukur es balok 30 cm. Tetapi setelah
didekartkan, ternyata berkurang, karena sentuhan mistar membuat sedikit
meleleh. Kemudian berpikir, seharusnya badan saya beku, nol derajat celcius.
Tetapi setelah berpikir panjang, ia megoreksi lagi, "Wah, berarti saya sudah
jadi mayat dong !"
*****Saya cerita sedikit pengalaman masa lalu. ketika saya belajar
matematika saya tidak tertarik dengan matematika terapan. Mengapa, karena
ketika berkenalan dengan barang kalkulus yang padat seprti yang kita punya
sekarang, contoh
yang bisa dibahas sangat terbatas dan tidak realistik. Ini salah satu
kendala. Contoh sederhana yang anda sajikan memberikan suatu keyakinan bahwa
kita memang tidak bsa mengaplikasikan matematika seperti kita melumuri
tangan kita dengan bedak.
#####Yang ada di Indonesia umumnya orang dilatih sebagai konsumen Matematika
terapan. Bukan juga sebagai produsen Matematika terapan.
Contoh Matematika terapan yang berhasil adalah "1 bebek + 2 bebek = 3
bebek". Walaupun si anak selama kelas I nggak pernah belajar Helikopter,
coba aja tanya, berapa 1 helikopter + 2 helikopter. Pasti ia bisa
menjawabnya.
Salam,
Nasrullah Idris
