2014-04-28 11:43 GMT-03:00 Pedro José :
> Bom dia!
>
> Por intuição a ordem decrescente é assim:
>
> n! , (log n)^n e n^logn.
>
> log de n torna o expoente << n e embora a base seja bem menor no final das
> contas o segundo termo deve ser maior que o primeiro.
>
> É fácil observar que: n! tem pelo menos 0,5 * n termos com valores >=
> 0,5 n (i) como n é muito grande é bem provável que seja o primeiro
>
> Porém, deveremos provar:
>
> Sejam a1 = n!, a2 = (logn)^n e a3 = n^logn, onde n= 2010^2010.
>
> Como log a x é uma função monótona crescente para a >1 temos que:
>
> loga > logb ==> a>b.
>
> log a2 = n.log(logn)= 2010^2010*log(2010*log2010)
>
> log a3=(log n)^2=(2010*log2010)^2
>
> É fácil verificar que a2 >> a1.
>
> 2010^2010*(log2010+log(log2010)) > (2010*log2010)^2
>
> Lembrar que log 2010 Ɛ (3,4).
>
> Por (i) temos que: n! > (n/2)^(n/2); pois todos os fatores de n! são
> inteiros e positivos.
>
> Seja y= (n/2)^(n/2) ==> log y = (n/2). (log n – log 2) ==>
>
> ==> log y = 0.5*(2010^2010)*(2010*log2010-log 2)
>
> log y > log a2 (ii), pois: 0.5*(2010*log2010 – log 2) >
> log2010+log(log2010)
>
> Atentar que (log 2010 + log(log(2010)) Ɛ (3,5)
>
> De (ii) temos que y > a2. Como a1 > y ==> a1 > a2.
>
> Portanto, em ordem decrescente n! , (log n)^n e n^logn.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 24 de abril de 2014 00:36, escreveu:
>
> Errata: Na verdade gostaria de colocar em ordem crescente os números:
>> n^logn , n! e (logn)^n sabendo-se que n= 2010^2010. Desculpem-me. Agradeço
>> antecipadamente a quem ajudar. Abraços
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
