[obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
Expandindo, temos (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x (a² + b²)x² - (4ab + 1)x + a² + b² = 0 (Estou supondo que a² + b² != 0. O caso contrário é simples, já que 0 seria raiz) Note que o produto das raízes é c/a = 1. Logo, se x é raiz, a outra raiz é 1/x. Além disso, a soma das raízes é inteira (4ab + 1), de onde tiramos que as duas raízes devem ser inteiras. Resta apenas pensar quais números poderíamos ter tais que x e 1/x sejam inteiros, são 1 e -1. -1 claramente não é possível: (-a - b)^2 + (-b - a)^2 = -1 1 também falha: (a - b)^2 + (b - a)^2 = 1 2(a - b)² = 1 (a - b)² = 1/2 a - b = +- 1/4 Não há solução inteira para a,b. Logo, se a equação tem uma raiz inteira, devemos ter a = b = x = 0. Fernando # # # #
[obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
Eu acho que eu deveria parar de pensar em problemas 2 horas da manhã. Esqueci de dividir a soma por a²+b²... Ignore a solução, embora eu ache que a resposta final está correta (não achei nenhum outro caso que funcione...). Fernando # # # #
Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos
A meu ver, o único jeito de termos x∈x seria se x fosse um conjunto
infinito. Por exemplo, seja B = {B}. Daí temos B = {{B}} = {{{B}}} =
B}}} = {{{...}}}.
Então A = R e B = ∅, ou estou simplificando demais as coisas?
Fernando
[obm-l] Re: [obm-l] C(n,p): par ou ímpar?
C(n,p) = n! / (n-p)!p! Conte os fatores de 2 em n!, (n-p)! e p!. Se o número de fatores de 2 for maior no numerador, o número é par, se for igual, é ímpar. Ex: C(36, 24) = 36! / 24!12! (pegando a parte inteira das divisões) fatores de 2 em 36!: 36/2 + 36/4 + 36/8 + 36/16 + 36/32 = 18 + 9 + 4 + 2 + 1 = 34 fatores de 2 em 24!: 24/2 + 24/4 + 24/8 + 24/16 = 12 + 6 + 3 + 1 = 22 fatores de 2 em 12!: 12/2 + 12/4 + 12/8 = 6 + 3 + 1 = 10 Como 34 22 + 10, o número é par. Fernando
[obm-l] Re: [obm-l] Permutação Circular
Coloque as mulheres circularmente na mesa, depois encaixe os homens nos espaços vazios. Fernando
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios(ajud a)
Bernardo, acho que você se esqueceu de um detalhe, o argumento não funcionaria para 3 raízes. Seja o polinômio P(x) = x³ - 10x² + 16x + 7. Temos P(0) = P(2) = P(8) = 7 e P(1) = 14. Qual é o detalhe? Bem, acho que vou deixar pra você descobrir. O polinômio acima é bem sugestivo... Fernando
Re: [obm-l] Material com provas do IME
Sergio, Estou confuso quanto à solução da 5ª questão de álgebra de 1989/1990. Nela é afirmado que A segunda diretriz é ortogonal à primeira, mas as duas diretrizes de uma elipse não são paralelas? Fernando
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES : [obm-l] Dízima periódica
Na verdade, a condição é que, se a fração for irredutível, o denominador não pode ter fatores primos que não estejam presentes na base. Então qualquer denominador que só tenha 2 e 5 como fatores primos não gerará dízima na base 10, assim como o denominador 6 não gerará dízima nas bases que tiverem 2 e 3 como divisores (ou seja, os múltiplos de 6). Fernando
Re: [obm-l] Ajuda em problema
Considere que o lote construído tem dimensões x e y. Considerando o recuo, temos (x+14)(y+10) = 1226 - y = 1226/(x+14) - 10. A área construída é, portanto, xy = x(1226/(x+14) - 10). O domínio dessa função vai de x = 0 até y = 0 - x = 108,6. Fernando
Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
Bem, agora que saiu o gabarito não tem muito propósito te falar as respostas, mas só pra comemorar que eu fechei a prova (ae!), pena que segunda fase conta muito pouco na classificação final. Parte A 1) 25 2) 8 3) 12 4) 2592 5) 1057 Parte B 1) 60º 2) 144 3) não há solução 4) 1004 Fernando
Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
Não tinha algo sobre não divulgar as questões da prova da OBM? Só vou comentar que o Salhab pulou k=8 ali na questão 3 da parte B. Além disso, as minhas respostas da 1B e 4B (só 3?) não batem com as suas... Fernando
[obm-l] Resultado da OBM
Leitores da lista, Me parece que li em algum lugar uma data para a divulgação dos resultados da OBM de 2008. Estou ficando doido ou há mesmo uma estimativa para a divulgação? -- Fernando Oliveira
Re: [obm-l] Exercicio olimpico
Se alguém souber inglês, pode tentar decifrar o que escreveram aqui: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=173020 -- Fernando Oliveira
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Suponha que os alunos colocaram 10x + y palitos na segunda instrução. Pela terceira, os palitos restantes serão 10x + y - (x + y) = 9x. Logo os números restantes possíveis são os múltiplos de 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45 e 54 (se a caixa tinha mais de 54). Como havia palitos dentro da caixa, descartamos o 0. Chamando o número total de palitos de z, a probabilidade de ocorrer os números menores que 45 são: 9 - 10/z 18 - 10/z 27 - 10/z 36 - 10/z Obviamente a melhor estratégia para o professor é adivinhar dois desses números de probabilidade 10/z, já que a probabilidade de ocorrerem 45 ou 54 é no máximo igual. Vamos assumir sem perda de generalidade 9 e 18. A chance de ser ou 9 ou 18 é obviamente de 20/z. Se z = 51 (chance 1/9): chance de ser 9 ou 18 - 20/51 chance total - 20/51 * 1/9 Se z = 52 (chance 1/9): chance de ser 9 ou 18 - 20/52 chance total - 20/52 * 1/9 etc... chance total de ser 9 ou 18 = 20/(51*9) + 20/(52*9) + 20/(53*9) + ... + 20/(59*9) = 5193090205879/14249471209974 ~ 36.4% Não me pergunte como fazer essa conta no papel, a não ser que eu tenha perdido alguma coisa... -- Fernando Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Eu considerei possibilidades demais, aí foi meu erro. Como 0 não é possível, o número total de números possíveis no passo 2 é z - 9, ou seja, só aqueles no intervalo [10, z]. Fazendo essa mudança, o total é de 43.7%, o que é muito estranho dado que há mais de 5 possibilidades. Se eu errei em mais alguma outra coisa, por favor me corrijam. -- Fernando Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROFESSOR ENTUSIASTA
On 11/1/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Item 3 é verdadeiro pois a maior idade possível da mãe é 50 e o professor pode ter 51, já que é mais velho. Para as outras idades da mãe ele pode ter 50 ou 51. Discordo pela mesma razão do Ednei. Como seria possível o aluno distinguir entre as possibilidades (50, 7, 7) e (49, 5, 10) se o professor tiver 51 anos? -- Fernando Oliveira
