[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Realmente eu me expressei mal ali. Eu quis dizer que o menor N deve ser 1, 2 ou 5. Em 13 de maio de 2018 21:22, Jeferson Almir escreveu: > Boa noite. > Eu só não entendi essa passagem > “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50 > menores ou iguais a 5).“ > Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50 > > Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi < > brunovisnadida...@gmail.com> escreveu: > >> Não sei se ficou meio confuso: >> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) >> e a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120 >> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada. >> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) = >> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50 >> menores ou iguais a 5). >> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) >> = c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas >> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2 >> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y, >> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2 >> = 40 funções deste tipo. >> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = >> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de >> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles >> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo. >> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30 >> = 50. >> >> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir >> escreveu: >> >>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que >>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x) >>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era >>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já >>> agradeço qualquer ajuda. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Valeu Raph e os demais. Aprendi muito com vcs!! Em sáb, 12 de mai de 2018 às 20:25, Ralph Teixeira escreveu: > Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005 > (obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a). > > Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K > natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa > propriedadezinha: > > f(a+K.2005)-f(a)=K.2005 > a+2005 - (a+K.2005) = K.2005 > K = 1/2 (absurdo). > > Abraco, Ralph. > > > > 2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com>: > >> Oi Ralph, >> >> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira : >> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali >> > embaixo e ajeite as coisas) >> > >> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) => >> > a+2005=b+2005 => a=b. >> > >> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, >> por >> > indução, para qualquer K natural, tem-se >> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005. >> > >> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD": >> > Ou seja, mostramos que a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005). >> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou >> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh >> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos. >> >> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma >> função que é sua própria inversa mod 2005. Temos que excluir este >> caso... >> >> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir : >> >> >> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 >> ??? >> >> >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005 (obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a). Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa propriedadezinha: f(a+K.2005)-f(a)=K.2005 a+2005 - (a+K.2005) = K.2005 K = 1/2 (absurdo). Abraco, Ralph. 2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com>: > Oi Ralph, > > 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira : > > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali > > embaixo e ajeite as coisas) > > > > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) => > > a+2005=b+2005 => a=b. > > > > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, > por > > indução, para qualquer K natural, tem-se > > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005. > > > > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD": > > Ou seja, mostramos que a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005). > > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou > > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh > > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos. > > Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma > função que é sua própria inversa mod 2005. Temos que excluir este > caso... > > > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir : > >> > >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 > ??? > >> > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga). Lema 1: f é injetora. Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b. Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f. Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é injetora, f(f(a) - 2005) = a. Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005. Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003 elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos t de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒ 2015 + t ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004. Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1, a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1, f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj, pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002 elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) = f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005. Portanto, não existe tal f. Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo escreveu: > acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal > que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e > i é um número ímpar > > On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo > wrote: > >> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde >> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero >> f(f(n)) = g(f(n)) + m >> >> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos >> g(f(n)) + m = n + 2005 >> g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um >> polinômio, que é um absurdo. >> >> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo >> wrote: >> >>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é >>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial >>> >>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica < >>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote: >>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais geral El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo escribió: > Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então > teríamos > f(f(n)) = a(an + m) + m > f(f(n)) = (a^2)n + am + m > > Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m > deve ser um número natural. > > On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> wrote: > >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + >> 2005 ??? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.