ERRATA: Uma pequena correção, que pouco influi e talvez tenha
passado despercebida.Onde está:
Então 100c + 10b + a - 100a -
10b - a = (k-1) * ABC
Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC
Obviamente, o correto é:
Então 100c + 10b + a - 100a - 10b -c =
(k-1) * ABC
Ou, 99 (c - a) = (k-1) *
ABC
- Original Message -
From:
Alexandre F. Terezan
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Terça-feira, 25 de Julho de 2000
21:58
Subject: Re: teoria dos inteiros
Essa é a primeira vez q escrevo para a lista, portanto,
saudações a todos.
SejaXYZ a representação de 100x + 10y +
z.
E seja = a notação para menor ou igual a
Assim, se CBA é múltiplo de ABC, então existe um inteiro
positivo k tal que:
CBA = ABC * k , para0 k 10
, ou CBA - ABC = (k-1) * ABC
Então 100c + 10b + a - 100a - 10b - a = (k-1) *
ABC
Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC
Assim, temos 2 casos a estudar:
i) c = a -- k = 1
ii) c a -- k 1
(obviamente se c fosse menor do q a, então ABC CBA,
impossível.
Caso i:
Neste caso, para todo c = a, k = 1
satisfaz o enunciado, ou seja, CBA = ABC * 1 = ABC. Como 0 c =
9 e 0 = b = 9, são90 as situações
possíveis.
Casoii:
Neste caso, (k-1) * ABC = 3^2 * 11 * (c -
a). Note que (k - 1) 9, pois k 10. Assim, ABC é
obrigatoriamente múltiplo de 33 (um fator 3 e um fator 11).
Note também que a 5 , uma vez que do
contrário CBA = k * ABC possuiria mais de 3 algarismos, para k 1,
impossível.
Além disso, se CBA for ímpar (a ímpar),
ABC é necessariamente ímpar (c ímpar). Por outro lado, se ABC é par (c par),
então CBA também é par (a par).
Dos critérios de divisibilidade por 3 e
por 11, tira-se que:
1) a + b + c = 3r (r inteiro
positivo menor do que 8)
2) - a + b - c = 11s (s= -1
ou s = 0 -- esta restrição se deve ao fato de serem a,b,c inteiros tais
que 0 a 5, 0 = b 10e 0 c
10)
Somando-se as
equações 1 e 2, obtemos: 2b = 3r + 11s
Para s = -1, vem: 2b = 3r -
11 e a + c = b + 11.
Lembrando que c a, apenasum terno
(a,b,c)seria uma possívelsolução, o terno(4,2,9). Como 924
não é múltiplo de 429, essa solução é falsa.
Para s = 0, vem: 2b = 3r
e a + c = 3r/2.
4 ternos (a,b,c) seriam possíveis soluções: (2,6,4) ,
(1,6,5) , (4,9,5) e(2,9,7). No entanto, nenhuma dessas possíveis
soluções é verdadeira, ou seja, CBA não é múltiplo de ABC para nenhum
desses ternos.
Ora, então todas as soluções se resumem ao caso i,
totalizando 90 soluções , para todo 0 c = a 10 (9
casos) e 0 = b 10 (10 casos) -- 9 * 10 = 90
soluções.
Abraços, Alexandre Terezan
- Original Message --
From:
Filho
To: discussão de
problemas
Sent: Segunda-feira, 24 de Julho de
2000 08:38
Subject: teoria dos inteiros
Quantos são os inteiros positivos de três
algarismos abc, com a e c ambos diferentes de zero, tais que cba é múltiplo
de abc ?
