Questão das Olimpíadas
Ol pessoal! Sou novato aqui na lista e gostaria que algum me ajudasse numa questo ou me informasse onde posso encontrar sua resoluo. a questo 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q so inteiros positivos tais que 7/10 p/q 11/15 , o menor valor que q pode ter : A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60Agradeo antecipadamente.
Re: Questão das Olimpíadas
Seja bem-vindo! Bem, mãos à obra: 7/10p/q11/15 Ou, reescrevendo, temos: 21/30p/q22/30 Note que eu s;o coloquei um mesmo denominador p/ as duas frações conhecidas, a desigualdade continua a mesma. Agora, se q=30, 21p22, o que não é possível. O primeiro q inteiro que nos dará um p também inteiro é q=60. Assim, teríamos 42p44, logo p=43. Resposta: letra E Alexandre Tessarollo José Alvino wrote: Olá pessoal! Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me ajudasse numa questão ou me informasse onde posso encontrar sua resolução. É a questão 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 p/q 11/15 , o menor valor que q pode ter é: A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 Agradeço antecipadamente.
Re: IMO2000 na minha home page
Ol amigos,
Em resposta a proposta do Nicolau, vai uma possvel soluo
do primeiro problema, considerado o mais fcil da prova.
Enunciado
Duas circunferncias G1 e G2 interceptam-se em M e
N.Seja t a reta tangente comum a G1 e G2 mais prxima de M.
Sejam A e B os pontos de interseco de t com G1 e G2
respectivamente.Seja s a reta paralela a t por M, C a sua interseco
com G1 e D com G2 .As retas CA e DB interceptam-se em E, as retas AN e
CD interceptam-se em
P e as retas BN e CD interceptam-se em Q. Mostre que EP = EQ.
(Origem: IMO 2000)
Observao: o texto acima
uma adaptao do texto em Ingls, mas mantendo o mesmo
significado.
Uma possvel soluo
Sejam O e K os centros de G1 e G2 respectivamente,
R e S as interseces de s com OA e
KB respectivamente e L a
interseco da reta MN com a reta
t.
Do paralelismo de t e s,segue-se que:
- OA e KB so ambos perpendiculares
as retas t e s.
- Os pares de tringulos (NPQ,
NAB) e (EAB e ECD) so semelhantes.
Da potncia do ponto L em relao
a G1 e G2 resulta que:
LA^2 = LM.LN = LB^2 .Da, LA = LB
e conseqentemente NL mediana do tringulo
NAB relativa ao lado AB.
Sendo NL mediana do tringulo NAB,
decorre da semelhana entre NPQ e NAB,(com PQ // AB),
que M ponto mdio de PQ, isto , MP
= MQ.
Sendo OA e KB ambos perpendiculares as retas
t e s, tem-se que o quadriltero ARSB retngulo,
CM =2.RM = 2.CR e MD = 2.MS = 2.SD. Conseqentemente,
CD = CM+MD = 2.RM + 2.MS = 2.RS = 2AB.
Como CD = 2.AB; segue-se da semelhana
entre EAB e ECD, que EC = 2.EA .
Sendo EC = 2.EA e CM = 2.CR , podemos concluir
que os tringulos ECM e ACR so semelhantes (LAL).Como AR
perpendicular a CM, pois OA perpendicular a s, decorre
desta semelhana que EM perpendicular a CM, conseqentemente
EM prependicular a PQ.
Portanto, sendo MP
= MQ e EM perpendicular a PQ, podemos
afirmar que o tringulo EPQ issceles de base PQ
e conseqentemente EP = EQ.
Autor: Luiz Antonio PONCE Alonso.
26/07/2000
Nota:
1)Para uma melhor compreenso faa
uma figura com as consideraes feitas na resoluo.
2)Caso algum queira uma soluo
com figura , e s pedir pelo email: [EMAIL PROTECTED]
3) Desculpe-me por qualquer falha. Por favor
sinta-se a vontade para contactar-me por email.
4) O enunciado em Ingls ou em Espanhol
encontra-se em www.obm.org.br
"Nicolau C. Saldanha" wrote:
On Fri, 21 Jul 2000, Nicolau Corcao Saldanha wrote:
> A IMO2000 esta disponivel agora tambem em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp
> (ingles, frances e espanhol; arquivos *.gif).
>
E ai, ningum comenta nada da prova?
Eu gostei muito do problema 3 (das pulgas)
e do 5 (2^n + 1 mltiplo de n e n tem 2000 fatores
primos).
Lembro do enunciado do problema 3:
Seja n >= 2 um inteiro. Inicialmente, existem n pulgas
em uma linha horizontal, no todas no mesmo ponto.
Para um nmero real positivo l (lambda na prova),
defina um movimento da seguinte forma:
Escolha duas pulgas com posies A e B, A
esquerda de B;
A pulga que estava em A pula para o ponto C direita de
B
com BC/AB = l.
Determine os valores de l para os quais, para qualquer M
na linha e qualquer posio inicial das pulgas,
existe uma seqncia finita de movimentos que leva todas
as pulgas para posies direita de M.
Segue l embaixo uma soluo xroteada, ou seja,
trocando
a por n, b por o, ... Eu recomendo s ler depois de tentar!
Obs: letras acentuadas e pontuao no foram alteradas.
No reclamem se tiverem dificuldades em decifrar,
eu publicarei uma verso limpa depois...
[]s, N.
cuidado, soluo se aproximando!
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N erfcbfgn cnen y >= 1/(a-1).
Qrirzbf qrzbafgene qhnf pbvfnf:
(n) dhr cnen y >= 1/(a-1) rkvfgr hzn frdapvn vasvavgn qr
zbivzragbf
dhr inv yrinaqb nf chytnf pnqn irm znvf cnen n qvervgn, hygencnffnaqb
dhnydhre cbagb cersvknqb Z;
(o) dhr cnen y 1/(a-1) r cnen dhnydhre cbfvb vavpvny
qnqn qnf chytnf
rkvfgr hz cbagb Z gny dhr nf chytnf rz hz azreb svavgb qr zbivzragbf
wnznvf nypnanz bh hygencnffnz Z.
Pbzrnerv cryb vgrz (o). Frwnz k_1, k_2, ..., k_a nf cbfvrf
vavpvnvf
qnf chytnf, pbz k_1 = k_2 = ... = k_a, qr gny sbezn dhr
k_a n cbfvb
qn chytn znvf qvervgn.
Frwn Z = (1/(1 - (a-1)y)) * (k_a - y*k_1 - y*k_2 - ... - y*k_{a-1}).
B cbagb Z pynenzragr rfg qvervgn qr gbqnf nf chytnf.
Nsveznzbf dhr fr ncf nythaf zbivzragb nf abinf cbfvrf
fb
k'_1, ..., k'_a r fr qrsvavzbf
Z' = (1/(1 - (a-1)y)) * (k'_a - y*k'_1 - y*k'_2 - ... - y*k'_{a-1})
ragb Z' = Z; vfgb pbapyhve n qrzbafgenb.
Onfgn pbafvqrene b dhr bpbeer ncf hz zbivzragb.
Fr n chytn dhr rfgnin rz k_v chyn fboer n chytn dhr rfgnin rz k_a
Re: ajuda
Filho wrote: Prove esta desigualdade: a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab ) = 1 para todo os inteiros positivos a, b e c. a^2: significa a elevado a 2 / : significa dividido dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador , chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) =1 com xyz=8. Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior ou igual à geométrica, que vale 2. Logo, x+y+z é maior ou igual a 6 e (1+x) +(1+y)+(1+z)é maior ou igual a 9 e a média aritmética de 1+x, 1+y, 1+z é maior ou igual a 3. Vamos chamar 1+x, 1+y, 1+z de p, q e r. A(p,q,r) =3 A média harmônica de p, q, r é menor ou igual à aritmética; logo, H(p,q,r) =3 3/(1/p +1/q +1/r)=3 1/p +1/q +1/r =1 Morgado
Re: Questão das Olimpíadas
Caro mtu, Sua resolução me parece perfeitamente correta, mas deve-se lembrar que a questão poderia ser discursiva e o valor mínimo de q poderia ser alto o suficiente para que tal resolução por "tentativa" nãofosse eficiente e muito menos prática. Uma maneira simples de resolver a questão seria: Seja p =q - k (k natural maior q zero), já que p q(pois p/q 11/15 1) Então 7/10 (q - k)/q 11/15 Daí, 7q 10q - 10k -- 3q 10k -- q 10k/3 15q - 15k 11q -- 4q 15k -- q 15k/4 Assim sendo, 10k/3 q 15k/4 Ou, 3k + k/3 q 3k + 3k/4 (CONDIÇÃO 1) Como 3k e q são ambos naturais, conclui-se que:a + [k/3] = [3k/4], sendo a natural maior do que zero. Ora, como se procura o menor q (logo, o menor k natural satisfazendo a condição 1), entao a = 1 e assim: [3k/4]= 1 -- 3k/4 1 -- k 4/3 [k/3] = 0 --k/3 1 -- k 3 4/3 k 3 -- k = 2. Assim, da condição 1, vem: 6 + 2/3 q 6 + 6/4 -- 6 + 2/3 q 7 + 1/2 --q = 7 Para todo k q satisfaça a condição 1, encontramos p/q tal que 7/10 p/q 11/15 k =3 -- q = 11 -- p = 8 -- 7/10 8/11 11/15 k = 4 -- q = 14-- p =10 -- 7/10 10/14 11/15 k = 5 -- q = 17 -- p = 12 -- 7/10 12/17 11/15 k = 5 -- q = 18 -- p =13 -- 7/10 13/18 11/15 etc etc etc Abraços, Alexandre Terezan - Original Message - From: "mtu" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 28 de Julho de 2000 03:51 Subject: Re: Questão das Olimpíadas José Alvino wrote: Olá pessoal!Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me ajudasse numa questão ou me informasse onde posso encontrar sua resolução. É a questão 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 p/q 11/15 , o menor valor que q pode ter é: A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 Agradeço antecipadamente.Acho q a resposta seria B, p/q deve ser um numero entre 0,7 e 0,733...,entao pensei da seguinte forma se usar q = 6, joguei como possibilidadepara p os numeros 5 e 4, 5/6 eh entao um numero maior que 0,733.. e 4/6eh um numero menor q 0,7, ou seja, q != 6, repeti o processo com 7 edescobri q se p=5 e q=7(5/7) sera um numero q se encaixa nadesigualdade, ou seja, dos numeros apresentados o menor que 'q' podeassumir eh 7.Nao sei se esse eh o meio mais pratico de resolver o problema, mas meparece correto... []'s
dúvida
Qual a demonstração das desigualdades das médias aritmética, geométrica e harmônica?
Re: Ajuda
Filho wrote: Prove esta desigualdade: a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab ) = 1 para todo os inteiros positivos a, b e c. a^2: significa a elevado a 2 / : significa dividido Dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador , chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) =1 com xyz=8. Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior ou igual à geométrica, que vale 2. Logo, x+y+z é maior ou igual a 6. x, y E z são raízes de uma equação do terceiro grau, t^3-A.t^2+B.t-8=0 , na qual A=x+y+z=6 e B=xy+yz+xz0. Pondo w=1+t, 1+x,1+y e 1+z serão raízes de w^3-(A+3)w^2+(3+2A+B)-(A+B+9)=0 1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)= (3+2A+B)/(A+B+9)= 1+ (A-6)/(A+B+9) que é maior ou igual a 1 pois A=6. O.K. Desculpem a besteira anterior. Morgado
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